《算法竞赛·快冲300题》每日一题：“x1 == x2”

《算法竞赛·快冲300题》将于2024年出版，是《算法竞赛》的辅助练习册。
所有题目放在自建的OJ New Online Judge。
用C/C++、Java、Python三种语言给出代码，以中低档题为主，适合入门、进阶。

“ x1 == x2” ，链接： http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1725

题目描述

【题目描述】 现在给定一些变量的等于或者不等于的约束，请你判断这些约束能否同时满足。
   输入时变量为x1,x2,…,xn，均以x开始，x后面为该变量对应的编号。
   约束条件只有"=“或者”!="。
【输入格式】 输入第一行为正整数T，表示存在T组测试数据。（T≤10）
   每组测试数据第一行为正整数n，表示约束条件的数量。（n≤1000000）
   接下来n行，每行以下列形式输出
   xi = xj
   xi != xj
   其中i和j表示对应变量的编号。（1≤i,j≤10^9）
【输出格式】 对于每组测试数据，输出一行Yes表示可以满足，输出No表示不能满足。
【输入样例】

2
4
x1 = x7
x9 != x7
x13 = x9
x1 = x13
2
x1 = x2
x2 = x1

【输出样例】

No
Yes

---

题解

   本题的解法显然是并查集。首先建立并查集，把相等的约束合并。然后逐一检查不等的约束，如果有一个与并查集产生了矛盾，输出“No”；如果完全没有产生矛盾，输出“Yes”。
   但是，如果直接用x的编号建立并查集会超内存。因为编号最大为$10^9$，直接建立并查集，需要$10^9$ = 1G的空间。
   如何优化空间？由于最多只有n=$10^6$个约束，x的编号数量最多只有$2\times 10^6$个。这是典型的离散化，把x的原来$10^9$个编号，转换为$2\times 10^6$个新编号。
【重点】 离散化 。

C++代码

   离散化的编码（离散化见《算法竞赛》，清华大学出版社，罗勇军、郭卫斌著，75页，2.7 离散化），可以手工编码，也可以用STL的lower_bound()和unique()。下面的代码用STL实现。
  注意输入的处理。

#include
using namespace std;
struct node{int x, y, z;}a[1000010];
int tot, b[2000010];
int s[2000010];         //并查集
int get_id(int x){      //返回离散化后的新值
    return lower_bound(b + 1, b + 1 + tot, x) - b;
}
int find_set(int x){
    if(x != s[x]) s[x] = find_set(s[x]);
    return s[x];
}
int main(){
    int T; cin >> T;
    while(T--)    {
        int n; cin >> n;
        tot = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            char ch1, ch2;  string str;
            cin >> ch1 >> a[i].x >> str >> ch2 >> a[i].y;
            if(str[0] == '=')  a[i].z = 1;  //相等
            else               a[i].z = 0;  //不等
            b[++tot] = a[i].x;              //把a的编号记录在b中
            b[++tot] = a[i].y;
        }
        sort(b + 1, b + 1 + tot);
        tot = unique(b + 1, b + 1 + tot) - (b + 1); //b去重，留下唯一的编号
        for(int i = 1; i <= tot; i++)  s[i] = i;    //建立并查集
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            if(a[i].z) {                 //处理相等约束，对离散化后的新编号合并并查集
                int sx = find_set(get_id(a[i].x));
                int sy = find_set(get_id(a[i].y));
                s[sx] = sy;
            }
        bool ok = true;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            if(!a[i].z)  {            //检查不等约束是否造成矛盾
                int sx = find_set(get_id(a[i].x));
                int sy = find_set(get_id(a[i].y));
                if( sx == sy ){
                    ok = false;
                    break;
                }
            }
        if(ok) cout<<"Yes"<<endl;
        else   cout<<"No"<<endl;
    }
    return 0;
}

Java代码

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.*;
class Main {
    static class Node {
        int x, y, z;
        Node(int x, int y, int z) {
            this.x = x;
            this.y = y;
            this.z = z;
        }
    }
    static Node[] a = new Node[1000010];
    static int tot;
    static int[] b = new int[2000010];
    static int[] s = new int[2000010];
    static int get_id(int x) {
        return Arrays.binarySearch(b, 1, tot + 1, x);
    }
    static int find_set(int x) {
        if (x != s[x])  s[x] = find_set(s[x]);
        return s[x];
    }
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int T = Integer.parseInt(br.readLine());
        while (T-- > 0) {
            int n = Integer.parseInt(br.readLine());
            tot = 0;
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                String str = br.readLine();
                int x = 0, y = 0;
                if (str.contains("!")) {
                    String[] split = str.split(" != ");
                    x = Integer.parseInt(split[0].substring(1));
                    y = Integer.parseInt(split[1].substring(1));
                    a[i] = new Node(x, y, 0);
                } else {
                    String[] split = str.split(" = ");
                    x = Integer.parseInt(split[0].substring(1));
                    y = Integer.parseInt(split[1].substring(1));
                    a[i] = new Node(x, y, 1);
                }
                b[++tot] = a[i].x;
                b[++tot] = a[i].y;
            }
            Arrays.sort(b, 1, tot + 1);
            tot = deduplicate(b, tot);
            for (int i = 1; i <= tot; i++)   s[i] = i;
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                if (a[i].z == 1) {
                    int sx = find_set(get_id(a[i].x));
                    int sy = find_set(get_id(a[i].y));
                    s[sx] = sy;
                }
            }
            boolean ok = true;
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                if (a[i].z == 0) {
                    int sx = find_set(get_id(a[i].x));
                    int sy = find_set(get_id(a[i].y));
                    if (sx == sy) {
                        ok = false;
                        break;
                    }
                }
            }
            if (ok)   System.out.println("Yes");
            else      System.out.println("No");
        }
    }
    static int deduplicate(int[] b, int n) { // 去重
        int p = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++)
            if (b[i] != b[p])
                b[++p] = b[i];
        return p;
    }
}

Python代码

   用bisect.bisect_left()离散化，用set去重。

#pypy
import sys
sys.setrecursionlimit(10000)
import bisect
input = sys.stdin.readline
def get_id(x):  return bisect.bisect_left(b, x)
def find_set(x):
    if x != s[x]:    s[x] = find_set(s[x])
    return s[x]
T = int(input())
for _ in range(T):
    n = int(input())
    a = []
    b = []
    for i in range(n):
        str = input()
        x, y = 0, 0
        if "!" in str:
            split = str.split(" != ")
            x = int(split[0][1:])
            y = int(split[1][1:])
            a.append([x, y, 0])
        else:
            split = str.split(" = ")
            x = int(split[0][1:])
            y = int(split[1][1:])
            a.append([x, y, 1])
        b.append(a[i][0])
        b.append(a[i][1]) 
    b = sorted(set(b))
    tot = len(b)
    s = [i for i in range(tot)]
    for i in range(n):
        if a[i][2] == 1:
            sx = find_set(get_id(a[i][0]))
            sy = find_set(get_id(a[i][1]))
            s[sx] = sy
    ok = True
    for i in range(n):
        if a[i][2] == 0:
            sx = find_set(get_id(a[i][0]))
            sy = find_set(get_id(a[i][1]))
            if sx == sy:
                ok = False
                break
    if ok:  print("Yes")
    else:   print("No")