AcWing 143. 最大异或对 —— 神奇的二进制

2023.01.11 补数组大小分析：

在构建 tire 树中设 son 数组大小为 $[M][2]$，其中 $M=N\ast 31$，可是为什么是这样呢？下面以 $N$ 为 $4$ 来模拟一下题目，并给出解释。
设 $N$ 为 $4$ 即有 $4$ 个输入如下所示：
$a[0]$：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000
$a[1]$：0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000
$a[2]$：1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000
$a[3]$：1100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000

有不少同学觉得 $M$ 的大小应该是 $N$ 或 $31$。这是远远不够的，注意看，此时输入的 $N$ 个数都不尽相同。
观察下图的 tire 树（为了看起来容易些，将所有的树叉都花了出来，单实际上在第 $k$ 个数输入前只有 $k-1$ 根树叉）和 son 数组，由于存储的实际上是 $idx$，因此有多少个在不同位置上不同的二进制数就有多少个不同的 $idx$，本例比较极端，几乎用到了 $4\ast 31=124$ 全部的位置，但实际上题目不会这么极端，因此设置为 $N\ast 31$ 是足够的。

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题目描述

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分析：

这里先回顾一下异或的操作。异或(Exclusive or, XOR)为当两两数值相同时为否，而数值不同时为真。在编程语言中，常表示为 p ^ q。直观如下：

在本题当中可以对给出的 $N$ 个整数进行暴力枚举同时记录两两最大的异或结果。很不幸暴力的做法会超时，下面给出暴力代码：

// 起码是 0（两个一样的数）
int res = 0
for (int i = 0; i < n; i ++) // 枚举第一个数
{
	for (int j = 0; j < i; j ++) // 枚举第二个数，可以避免重复枚举
		res = max(res, a[i] ^ a[j])
}

那我们要进行优化，具体为对内层循环进行优化。由于数据小于 $2^{31}$，因此可以将每个整数看成长度为 $31$ 位的二进制串。那能使 $a[i]$ 与其异或值最大的整数一定是高位至低位与$a[i]$有尽可能多的不同位(使异或结果可以尽可能多地获得1)。流程如下所示，假设由 $a[0]$ 至 $a[i-1]$ 已经构建好了trie树，且 $a[i]$ 的二进制表示为 $\mathrm{101110...1}$。在贪心准则下每次往能获得最大异或值的方向走，若其他整数不能使当前位获得最大值(假设 $a[i]$ 当前位为0，而tire树中只有0可以走)，也只能先将就一下往这里走，等下一位再追求最好的。直至走完 $a[i]$。

注：对于 $a[i]$ 来讲，它面临的 trie树，是由 $a[0]...a[i-1]$ 构建的。
以上就是利用trie树优化内层的循环的思想，并且每次 $a[i]$ 只和 $a[j]$ $(j<i)$ 的数进行运算即可，这是因为 p ^ q = q ^ p(^ 为异或运算)。
另外需要注意一个细节，对于每一个 $a[i]$$(0\le i\le N)$是先进行对其进行最大异或值查询再插入进 trie树还是先插入再查询呢？这里我们采用先插入再查询的流程，因为对于第一个整数来讲，trie树为空，若此时进行异或运算可能会非法的结果；若先插入再查询，则第一个数一定是和自己做异或运算，由于异或运算的性质，可以得出结果一定为$0$。

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别扭的位运算

由于本题都是对二进制数进行操作，因此我打算先提前把位运算说清楚，这样在看代码时会事半功倍。
左移运算(<<)：在C++中，若对整数进行左移操作，如 x << 1，即把每一位向前(左)推一位后在末尾补上$0$，相当于将这个数放大$2$倍。这是为什么呢？请看下图：

右移运算(>>)：在C++中，若对整数进行左移操作，如 x >> 1，即把每一位向后(右)推一位，并把推出去的数去掉，相当于将这个数缩小$2$倍。具体细节可将左移推导中的乘法转换为除法即可。同理也要搞清楚左移 $k$ 位以及右移 $k$ 位的含义。

有了左右移的概念之后，我们来看一下代码中经常出现的位运算操作之一：x >> k & 1。大家都将该操作称为“看看第 $k$ 位($k$ 从$0$开始)”。该操作为将 $x$ 的二进制表示右移 $k$ 位后与$\mathrm{0000...01}$按位求与运算。我想与运算大家肯定明白，那为什么是看看第 $k$ 位呢？由于二进制只有$0$和$1$，求与运算后若为$0$，说明第 $k$ 位是$0$；若是$1$，说明第 $k$ 位是$1$。例见下图：

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代码(C++)

#include 

using namespace std;

const int N = 100010, M = 31 * N;
int a[N], son[M][2], n, idx;

void insert(int x)
{
    int p = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; i --)
    {
        // 取出 x 的第 i 位二进制数
        int u = x >> i & 1;
        if (!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx;
        p = son[p][u];
    }
}

int query(int x)
{
    int p = 0, res = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; i --)
    {
        // 从高位向低位操作
        int u = x >> i & 1;
        // 对于当前位的二进制数
        // 尽可能往其出现过的相反的方向走，假设当前位 u = 0
        // 若1的那个方向的 trie树枝干被创建则向那个方向走
        // 若没有被创建，则先将就一下走0的方向
       if (son[p][!u])
        {
            p = son[p][!u];
            // 相当于 + 000..000u
            res = (res << 1) + !u; // 将当前位加到左移后空出的第0位上
        }
        else 
        {
            p = son[p][u];
            res = (res << 1) + u;
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n;
    
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    int res = 0;
    
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        // 先插入后运算是为了避免边界问题，对于第一个整数整个树为空
        // 若先将自己插入进去，则与自己的异或结果始终为0
        insert(a[i]);
        
        // t 为 a[0]至a[i-1] 中与a[i]异或值最大的那个整数
        // 即够成局部最大异或对
        int t = query(a[i]);
        
        // 看是否是所有整数中的最大异或对
        res = max(res, a[i] ^ t);
    }
    
    cout << res;
}

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