信号完整性分析基础知识之有损传输线、上升时间衰减和材料特性（三）：耗散因子Df

在低频下，介电材料的漏电阻是恒定的，用体积电导率来描述材料的电性能。这种体积电导率与材料中离子的密度和迁移率有关。

在高频下，由于偶极子的运动增加，电导率随频率增加。材料中可以旋转的偶极子越多，材料的体积电导率就越高。偶极子可以随着施加的场移动得越远，电导率越高。为了描述这种测量材料中偶极子的新材料特性，必须引入新的材料电特性。这种与偶极子运动有关的新材料特性称为材料的耗散因数：

 σ表示电介质的整体交流电导率；

f表示正弦波频率；

ε0表示自由空间电导率，8.89x10--14F/cm

εr表示相对介电常数，无量纲

tan(ξ)表示材料耗散，无量纲

耗散因子通常表示为损耗角的正切，tan(δ)，有时候缩写为Df，Df 是材料中偶极子数量以及每个偶极子在应用场中可以旋转多远的量度：

tan(δ)~nxpxθmax

tan(δ)表示耗散因子Df，n表示介质中偶极子的密度，p表示偶极矩，测量每个偶极的电荷和间距。θmax表示偶极子在外加磁场中旋转多远。

随着频率增加，偶极子移动的速度会更快，因此电流和电导率都会增加。这被频率项考虑在内。

在耗散因子的定义中，作为角度δ的切线，角度δ与趋肤深度项完全无关，并且是独立的，不幸的是，趋肤深度也使用希腊字母δ来描述。不要混淆。

在实际材料中，偶极子不可能在所有应用频率下有相同的移动。 θmax 的频率变化考虑了偶极子运动随频率的这种轻微的二阶变化，这导致耗散因数略微依赖于频率。偶极子在外加场中移动的能力在很大程度上取决于它们如何附着在聚合物主链上，以及附近其他分子的机械共振。

在足够高的频率下，偶极子将无法像在较低的频率下那样快速响应，因此，我们预计耗散因子会降低。

有一个完整的研究领域，称为介电光谱，专注于使用耗散因子和介电常数来分析聚合物链的机械性能的频率依赖性。监测耗散因子及其频率依赖性有时是聚合物固化程度的衡量标准。聚合物的交联度越高，偶极就越紧密，耗散因子就越低。

作为一个粗略的经验法则，偶极被聚合物保持得越紧，介电常数就越低，耗散因子就越低。具有最低介电常数的聚合物（即特氟隆、硅橡胶和聚乙烯）都具有非常低的耗散因子。图9-10列出了一些常用的互连电介质及其耗散因子和介电常数。

 在大多数互连材料中，材料的耗散因子大多随频率而恒定。通常可以忽略这种随频率的微小变化，并使用恒定值来准确预测损失行为。然而，由于层压材料的加工过程中的变化，不同批次、不同板、甚至同一块板的耗散因子可能会发生变化。如果材料从湿度中吸收水分，则吸收的水分子密度越高，耗散因子就越大。在聚酰亚胺或Kapton柔性薄膜中，湿度可以使耗散因子增加一倍以上。

为了完整地描述介电材料的电学性质，需要两个材料术语。材料的介电常数描述了材料如何增加电容并降低材料中的光速。耗散因子描述了偶极子的数量及其运动，是电导率与频率成比例增加的程度的度量。这两个术语可能是弱频率相关的，并且会因批次和板而异。

由于这两个术语都会影响电气性能，为了准确预测性能，了解这些材料特性如何随频率变化以及它们如何因板而异是很重要的。如果材料特性存在不确定性，那么电路的性能也将存在不确定性。本章稍后将介绍一些在高频下测量这些材料特性的技术。

Df的真实意义

将耗散因子这样的术语描述为tan（δ）有点令人困惑。为什么把它描述为一个角度的切线？它的角度是多少？在实践中，角度指的是什么并不重要，不必担心。

为了使用术语tan（δ）来描述有损线，术语的起源和它所指的角度都不重要。它只是一种材料性质，与材料中自由移动偶极子的数量以及它们可以随频率移动多远有关。

电介质材料具有两个重要的电学材料特性。我们在第5章中介绍了一个性质，即相对介电常数，它描述了偶极子如何在电场中重新排列以增加电容。这个术语描述了材料将在多大程度上增加两个电极之间的电容和材料中的光速。然而，它并没有告诉我们任何关于材料损失的信息。

需要第二个新的材料属性术语耗散因数来描述偶极子如何来回晃动并产生与所施加电压正弦波同相的电流电阻。

然而，这两个术语都与偶极子的数量、它们的大小以及它们如何移动有关。当在施加正弦波电压的频域中观察时，一项涉及与施加场异相并有助于增加电容的偶极子的运动，而另一项涉及偶极子的运动与施加的电压同相并导致损耗。

在施加正弦波电压的情况下，通过实际电容器的电流可以用两个分量来描述。电流的一个分量与电压完全不同相，并有助于我们认为通过理想无损电容器的电流。另一个电流分量与施加的电压波完全同相，看起来像流过理想电阻器的电流，导致损耗。

为了描述这两种电流，异相和同相分量，建立了一种基于复数的形式。它本质上是一个频域概念，因为它涉及正弦波电压和电流的使用。为了利用复数形式，我们改变介电常数，使其成为复数。使用复数形式，施加的电压可以写成：

通过电容器的电流与电容的关系如下：

 使用复数形式，通过电容器的电流在频域中可以写成：

 该关系将流过理想无损电容器的电流描述为与所施加电压异相。物理学惯例使用的术语“i”和电气工程惯例使用的术语“j”将电流和电压之间的相位描述为 90 度异相。

如果空电容 C0 的电容器填充有介电常数 εr 的材料，则通过理想电容器的电流为：

现在，这是第一个技巧。为了描述这两种材料特性（即影响电流异相的介电常数和影响电流与电压同相的耗散因数），我们更改了介电常数的定义。如果介电常数是一个单一的实数，则唯一产生的电流是 i，与电压异相。如果我们将介电常数设为复数，它的实部仍将与电流 i 异相相关，但虚部会将部分电压转换为与电压同相的电流并与损耗相关。

这是第二个技巧。如果我们只是将新的复数介电常数描述为实部和虚部——例如，a + ib——当它乘以来自电压的因子 i 时，来自 b 项的 i 将转换来自电压的 i 项为-1。这将使电流的实部变为负值，或与电流相差 180 度。为了使电流的实部与电压完全同相，我们用虚项的负值定义了复介电常数。复介电常数定义为以下形式：

 εr =表示复介电常数

εr'表示复介电常数的实部

εr''表示复介电常数的虚部

我们在复数介电常数的定义中引入负号，以便在这种形式中，电流的实部为正且与电压完全同相。新的复数介电常数的实部实际上就是我们一直简单称为介电常数的部分。

使用这个定义，电流流过一个理想有损电容器的大小就是：

其中：I表示在频域中通过理想有损电容器的电流，w表示角频率=2π*f，C0表示电容器的空容量，V表示外加正弦波电压V = V0 exp(iωt)，εr表示复介电常数，εr'表示复介电常数的实部

εr''表示复介电常数的虚部。

通过将介电常数转化为复数，同相电流和异相电流之间的关系是紧凑的。使用复数表示法，我们可以概括通过实际电容器的电流。让人有点困惑的是，电流的虚分量实际上与复介电常数的实部有关，该虚分量与电压异相90度，并对我们熟悉的电容电流有贡献。电流的实部——与电压同相，表现得像电阻器，并导致损耗——实际上与介电常数的虚部有关。

作为一个复数，介电常数具有实部和虚部。我们可以将这个数字描述为复平面上的向量，如图 9-11 所示。矢量与实轴的角度称为损耗角 δ。如前所述，使用希腊字母 δ 来标记损耗角与使用相同的希腊字母来标记趋肤深度是不幸的巧合。这两个术语完全无关；损耗角与介电材料有关，趋肤深度与导体特性有关。

损耗角的正切是介电常数的虚部与实部之比：

并且：

通常，我们不直接使用介电常数的虚部，而是使用损耗角的正切 tan(δ)，也称为 Df。这样，介电常数和 tan(δ) 的实部以及它们可能的频率依赖性完整地描述了绝缘材料的重要电性能。

我们还习惯性地忽略它是介电常数实部的区别，并将其简单地称为介电常数。根据上面的关系，我们可以将传输线的交流泄漏电阻与介电常数和损耗因数的虚部联系起来：

在导体的任何几何配置中，影响导体之间电容的相同几何特征也会影响电阻，但影响相反。这在平行板配置中最容易看出。电阻和电容由下式给出：

将导体之间的这两种电阻形式相结合，可得出材料的体交流电导率与损耗因数之间的联系：

其中：

σ = 介电材料的体交流电导率

ε0 = 自由空间的介电常数 = 8.89 × 10 F/cm

εr' = 介电常数的实部

εr'' = 介电常数的虚部

tan(δ) = 电介质的损耗因数

δ = 电介质的损耗角

R = 导体之间的交流漏电阻

C = 导体之间的电容

h = 导体之间的介质厚度

A = 导体面积

ω = 角频率 = 2 × π × f，其中 f = 正弦波频率

尽管耗散因数仅与频率有微弱的相关性，但我们再次看到，由于 ω 项，电介质的体交流电导率将随频率线性增加。同样，由于漏电阻消耗的功率与体交流电导率成正比，因此功率消耗也将随频率线性增加。这是有损线路为信号完整性带来的主要问题的根本根源。