最短路算法——Floyd-Warshall
在更多的应用场景中，需要用不同的算法来解决。下表总结了一些经典算法，除了贪心最优搜索之外，其他都是最优性算法，即得到的解是最短路径。表中的 m 是边的数量，n 是点的数量。
一、BFS
BFS 也是一种很不错的最短路算法。但 BFS 只适合一种场景：任意的相邻两点之间距离相等，一般把这个距离看成 1，称为“1跳”，从起点到终点的路径长度就是多少个“跳数”。在这种场景下，查找一个起点到一个终点的最有短距离，BFS 是最优的最短路径算法，计算复杂度是 O(n)，n 是图上点的数量。
二、Floyd-Warshall
Floyd 算法是代码最最简单的最短路径算法，甚至比暴力的搜索更简单。它的效率不高，而且不能用于大图，但是在某些场景下也有自己的优势。Floyd算法是一种“多源”最短路算法，一次计算能得到图中每一对结点之间（多对多）的最短路径。而Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA 算法都是“单源”最短路径算法（Single source shortest path algorithm），一次计算只能得到一个起点到其他所有点（一对多）的最短路径。可以理解为当其它算法求完某两点间最短路时，Floyd 已经求得了所有点之间的最短路。
1. Floyd算法思想
动态规划的思路：
求图上两点 i、j 之间的最短距离，可以按“从小图到全图”的步骤，在逐步扩大图的过程中计算和更新最短路。想象图中的每个点是一个灯，开始时所有灯都是灭的。然后逐个点亮灯，每点亮一个灯，就重新计算 i、j 的最短路，要求路径只能经过点亮的灯。所有灯都点亮后，计算结束。在这个过程中，点亮第 k 个灯时，能用到 1∼k−1 个亮灯的结果。
定义状态为 dp[k][i][j]，i、j、k 是点的编号，范围 1∼n 。状态 dp[k][i][j] 表示在包含 1∼k 点的子图上，点对 i、j 之间的最短路。当从子图 1∼k−1 扩展到子图 1∼k 时，状态转移方程这样设计：dp[k][i][j] = min(dp[k-1][i][j], dp[k-1][i][k] + dp[k-1][k][j])
计算过程如上图所示，虚线圆圈内是包含了 1∼k−1 点的子图。方程中的 dp[k−1][i][j] 是虚线子图内的点对 i、j 的最短路；dp[k−1][i][k]+dp[k−1][k][j] 是经过 k 点的新路径的长度，即这条路径从 i 出发，先到 k，再从 k 到终点 j。比较不经过 k 的最短路径 dp[k−1][i][j] 和经过 k 的新路径，较小者就是新的 dp[k][i][j]。每次扩展一个新点 k 时，都能用到 1∼k−1 的结果，从而提高了效率。这就是动态规划的方法。
当 k 从 1 逐步扩展到 n 时，最后得到的 dp[n][i][j] 是点对 i、j 之间的最短路径长度。由于 i 和 j 是图中所有的点对，所以能得到所有点对之间的最短路。
代码分析：
for(int k=1; k<=n; k++) //floyd的三重循环
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++) // k循环在i、j循环外面
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]); //比较：不经过k、经过k- 初值 dp[0][i][j] ，若 i、j 是直连的，就是它们的边长；若不直连，赋值为无穷大。
- 把 dp[][][] 缩小成了 dp[][]，这是用到了滚动数组，因为 dp[k][][] 只和 dp[k−1][][] 有关，所以可以省掉 k 这一维。由于 k 是动态规划的子问题的“阶段”，即 k 是从点 1 开始逐步扩大到 n 的，所以 kk 循环必须放在 i、j 循环的外面。
- 三重循环，复杂度是 O(n^3)，非常低下。
Floyd算法的寻路极为盲目，几乎“毫无章法”，这是它的效率低于其他算法的原因。但是，这种“毫无章法”，在某些情况下却有优势。
2. Floyd算法要点
1.能一次性求得所有结点之间的最短距离，这是其他最短路径算法都做不到的。
注：求所有结点之间的最短距离时，从效率上讲并不一定比其他算法强：Floyd 算法的复杂度为 O(n^3)， n 是结点数量；Dijkstra 算法求所有点对之间的最短距离，复杂度是 O(mnlogn)，m 是边数。不过，若图的边很稠密，m 比 n 大很多，例如在全连通图中有 m = n(n-1)/2，此时 O(mnlogn) 比 O(n^3) 还大，此时 Floyd 就有优势了。
2. 代码极其简单，是最简单的最短路算法。三重循环结束后，所有点对之间的最短路都得到了。
3. 效率低下，计算复杂度是 O(n^3)， 只能用于 n < 300 的小规模的图。
4. 存图用邻接矩阵 dp[][] 是最好最合理的，不用更省空间的邻接表。
注：这个因为 Floyd 算法计算的结果是所有点对之间的最短路，本身就需要 n×n 的空间，用矩阵存储最合适。
5. 可判断负圈
注：负圈：若图中有权值为负的边，某个经过这个负边的环路，所有边长相加的总长度也是负数，这就是负圈。在这个负圈上每绕一圈，总长度就更小，从而陷入在负圈上兜圈子的死循环。Floyd 算法很容易判断负圈，只要在算法运行过程出现任意一个 dp[i][i]<0 就说明有负圈。因为 dp[i][i] 是从 i 出发，经过其他中转点绕一圈回到自己的最短路径，如果小于零，就存在负圈。
3. Floyd 算法的应用场景
1. 图的规模小，n<300。计算复杂度 O(n^3) 限制了图的规模。不需要用其他算法，其他算法的代码更长，写起来麻烦。
2. 问题的解决和中转点有关。这是 Floyd 算法的核心思想，算法用 DP 方法遍历中转点来计算最短路。
3. 路径在“兜圈子”，一个点可能多次经过。这是 Floyd 算法的特长，其他路径算法都不行。
4. 可能多次询问不同点对之间的最短路。这是 Floyd 算法的优势。
4. 经典题目练习
点击->题目分析及参考代码
公园观景
题目描述
小明喜欢观景，于是今天他来到了公园。
已知公园有 N 个景点，景点和景点之间一共有 M 条道路。小明有 Q 个观景计划，每个计划包含一个起点 st 和一个终点 ed，表示他想从 st 去到 ed。但是小明的体力有限，对于每个计划他想走最少的路完成，你可以帮帮他吗？
输入描述
输入第一行包含三个正整数 N,M,Q
第 2 到 M + 1 行每行包含三个正整数 u,v,w 表示 u↔v 之间存在一条距离为 w 的路。
第 M+2 到 M + Q-1 行每行包含两个正整数 st,ed，其含义如题所述。
（1 ≤ N ≤ 400，1 ≤ M ≤ N×(N−1)/2，Q ≤ 10^3，1 ≤ u,v,st,ed ≤ n，1 ≤ w ≤ 10^9）
输出描述
输出共 Q 行，对应输入数据中的查询。
若无法从 st 到达 ed 则输出 -1。
样例输入
3 3 3
1 2 1
1 3 5
2 3 2
1 2
1 3
2 3
样例输出
1
3
2打印路径
题目描述
王国有 N 个城市，任意两城市间有直通的路或没有路。每条路有过路费，并且经过每个城市都要交税。定义从 a 城到 b 城，其花费为路径长度之和，再加上除 a 与 b 外所有城市的过路费之和。
现给定若干对城市，请你打印它们之间最小花费的路径。如果有多条路经符合，则输出字典序最小的路径。
输入描述
第一行给定一个 N 表示城市的数量，若 N=0 表示结束。
接下来 N 行，第 i 行有 N 个数， 
，
表示第 i 个城市到第 j 个城市的直通路过路费，若 = −1 表示没有直通路。
接下来一行有 N 个数，第 i 个数表示第 i 个城市的税。再后面有很多行，每行有两个数，表示起点和终点城市，若两个数是 -1，结束。
输出描述
对给定的每两个城市，输出最便宜的路径经过哪些点，以及最少费用。
样例输入
3
0 2 -1
2 0 5
-1 5 0
1 2 3
1 3
2 3
-1 -1
0
样例输出
From 1 to 3 :
Path: 1-->2-->3
Total cost : 9
From 2 to 3 :
Path: 2-->3
Total cost : 5
指数移动
题目描述
一个图有 n 个点，有 m 个边连接这些点，边长都是 1 千米。小明的移动能力很奇怪，他一秒能跑 2^t 千米，t 是任意自然整数。问小明从点 1 到点 n，最少需要几秒。
输入描述
第一行两个整数 n，m，表示点的个数和边的个数。
接下来 m 行每行两个数字 a，b，表示一条 a 到 b 的边。
（1 ≤ n ≤ 50，1 ≤ m ≤ 10000，最优路径长度 ≤ 2^32。）
输出描述
输出一个整数，表示答案。
样例输入
5 5
1 2
2 2
3 4
3 5
2 3
样例输出
1如有错误和需要改进完善之处，欢迎大家纠正指教。