曲面积分与曲线积分

目录

一、曲线积分

（1）第一类曲线积分：

（2）第二类曲线积分：

(3)格林公式

二、曲面积分

（1）第一类曲面积分：

（2）第二类曲面积分：

三、考研练习

（1）level 1

1、曲线积分计算

2、求解路径无关的曲线积分

3、曲面积分计算

（2）level 2

1、求力的做功

2、三维的对坐标曲线积分

（3）level 3

1、格林公式的运用求解曲线积分​​​​​​​

一、曲线积分

（1）第一类曲线积分：

求某一条密度不均一的曲线的质量     

（2）第二类曲线积分：

求变力沿曲线的做功   

(3)格林公式

用处：证明该曲线积分与路径无关 （简化计算）

证明过程：

举一个例子，假设一个力将其从点a拉到点b，在从点b拉到了点a，力做了多少功？

做功是0吗？显然不是，当其为变力的时候，功是变化的。所以，在闭合曲线内，如果​​​​​​​​​，​​​​​那么此时积分为0，那么此时积分与路径无关，只要起点终点相同，那么积分就不会变化。

那么和是怎么来的呢？看如图曲线

那么假设是一个力在这个小矩形内做功，而且上(Fx`)下(Fx)左(Fy`)右(Fy)的力都是不同的，那么力之间有何关系呢？

关系式是这样的，         

因为经过微元法之后，任何的曲线都可以看作一条很小对直线，所以其实力与位移的关系可以看作是线性关系的y=kx+b。

那么有关于力的关系式 

因为是求功，所以再分别乘上各自的偏移，再同时取二重积分那么就能得出格林公式了。

二、曲面积分

（1）第一类曲面积分：

 求密度不一样大的曲面的质量  

（2）第二类曲面积分：

一个不规则几何体的流量大小

 

三、考研练习

（1）level 1

1、曲线积分计算

在计算曲线积分时，第一步很关键，一定要观察对称性，对于kxy，kx，ky等这样的式子可以直接删去。

法一、利用代换把y换成x，把ds转化为dx，注意是将斜边化为直角边

​​​​​​​

 法二、将题目中的关系式代入到被积函数中去，可以化繁为简

将代入式子，可以直接转变被积函数为常数

​​​​​​​

因为x，y，z是可以对称的，所以，再利用曲线积分几何意义，求

2、求解路径无关的曲线积分

代入公式

 

3、曲面积分计算

 法一、把z换成f(x,y),同样的dS也要化为dxdy，然后再计算重积分

（2）level 2

1、求力的做功

一个力可以分解为沿着x方向的力Fx和沿着y轴的Fy，所以只要乘上各自的位移在各自相加就能得到做功的大小。所以要先求出F的向量表示，既单位长度✖️角度向量表示

注意：这里的曲线是不闭合的，要使用格林公式必须是闭合曲线！所以在L上多加了一段由（2,0）指向（0,0)的一段，所以在计算时还要再减去这一段。

2、三维的对坐标曲线积分

（3）level 3

1、格林公式的运用求解曲线积分

容易得出来的是Px = Qy（偏导）

但是这道题有一个非常难处理的点就是（x，y）不能等于（0，0），所以不能使用格林公式

所以可以在区域中间取一个圆，并且逆时针，消除（0，0）。但又有问题出现了，环是一个多联通曲线，要内逆外顺才能使用格林公式，那么就再挖去中间的圆，可以转化为求圆环的曲线积分