Expecto P_atronum
Expecto P_atronum

曲面积分与曲线积分

目录

一、曲线积分

（1）第一类曲线积分：

（2）第二类曲线积分：

(3)格林公式

二、曲面积分

（1）第一类曲面积分：

（2）第二类曲面积分：

三、考研练习

（1）level 1

1、曲线积分计算

2、求解路径无关的曲线积分

3、曲面积分计算

（2）level 2

1、求力的做功

2、三维的对坐标曲线积分

（3）level 3

1、格林公式的运用求解曲线积分​​​​​​​

一、曲线积分

（1）第一类曲线积分：

求某一条密度不均一的曲线的质量     {\int_L}f(x,y)ds

曲面积分与曲线积分_第1张图片

（2）第二类曲线积分：

求变力沿曲线的做功   {\int_L}f(x,y)dx+g(x,y)dy

曲面积分与曲线积分_第2张图片

(3)格林公式

{\oint_L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy = \iint_{a}^{b}(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dx dy

用处：证明该曲线积分与路径无关 （简化计算）

证明过程：

举一个例子，假设一个力将其从点a拉到点b，在从点b拉到了点a，力做了多少功？

做功是0吗？显然不是，当其为变力的时候，功是变化的。所以，在闭合曲线内，如果\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}​​​​​​​​​，​​​​​那么此时积分为0，那么此时积分与路径无关，只要起点终点相同，那么积分就不会变化。

那么\frac{\partial Q}{\partial x}和\frac{\partial P}{\partial y}是怎么来的呢？看如图曲线

曲面积分与曲线积分_第3张图片

那么假设是一个力在这个小矩形内做功，而且上(Fx`)下(Fx)左(Fy`)右(Fy)的力都是不同的，那么力之间有何关系呢？

关系式是这样的，Fx` = Fx +\frac{\partial F}{\partial x}dx       Fy` = Fy + \frac{\partial F}{\partial y}dy    

因为经过微元法之后，任何的曲线都可以看作一条很小对直线，所以其实力与位移的关系可以看作是线性关系的y=kx+b。

那么有关于力的关系式(Fx - Fx`)dy + (Fy - Fy`)dx = \frac{\partial F}{\partial x}dydx - \frac{\partial F}{\partial y}dxdy  

因为是求功，所以再分别乘上各自的偏移，再同时取二重积分那么就能得出格林公式了。

二、曲面积分

（1）第一类曲面积分：

 求密度不一样大的曲面的质量  \iint_\varepsilon f(x,y,z)dS

曲面积分与曲线积分_第4张图片

（2）第二类曲面积分：

一个不规则几何体的流量大小

 \iint_\varepsilon Pdxdy +Qdzdx + Rdxdy

曲面积分与曲线积分_第5张图片

三、考研练习

（1）level 1

1、曲线积分计算

在计算曲线积分时，第一步很关键，一定要观察对称性，对于kxy，kx，ky等这样的式子可以直接删去。

法一、利用代换把y换成x，把ds转化为dx，注意是将斜边化为直角边

​​​​​​​曲面积分与曲线积分_第6张图片

 法二、将题目中的关系式代入到被积函数中去，可以化繁为简

将\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1代入式子，可以直接转变被积函数为常数

​​​​​​​

因为x，y，z是可以对称的，所以\oint_\Gamma x^2ds = \frac{1}{3}\oint_\Gamma (x^2 + y^2 + z^2)，再利用曲线积分几何意义，求

曲面积分与曲线积分_第7张图片

2、求解路径无关的曲线积分

代入公式\int_{x1}^{x0}P(x,y0)dx + \int_{y1}^{y0}Q(x1,y)dy

 曲面积分与曲线积分_第8张图片

3、曲面积分计算

 法一、把z换成f(x,y),同样的dS也要化为dxdy，然后再计算重积分

曲面积分与曲线积分_第9张图片

（2）level 2

1、求力的做功

一个力可以分解为沿着x方向的力Fx和沿着y轴的Fy，所以只要乘上各自的位移在各自相加就能得到做功的大小。所以要先求出F的向量表示，既单位长度✖️角度向量表示

注意：这里的曲线是不闭合的，要使用格林公式必须是闭合曲线！所以在L上多加了一段由（2,0）指向（0,0)的一段，所以在计算时还要再减去这一段。

曲面积分与曲线积分_第10张图片

2、三维的对坐标曲线积分

曲面积分与曲线积分_第11张图片
曲面积分与曲线积分_第12张图片

（3）level 3

1、格林公式的运用求解曲线积分

容易得出来的是Px = Qy（偏导）

但是这道题有一个非常难处理的点就是（x，y）不能等于（0，0），所以不能使用格林公式

所以可以在区域中间取一个圆，并且逆时针，消除（0，0）。但又有问题出现了，环是一个多联通曲线，要内逆外顺才能使用格林公式，那么就再挖去中间的圆，可以转化为求圆环的曲线积分

曲面积分与曲线积分_第13张图片

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  • [Velocity一]Velocity语法基础入门 bit1129 velocity
    用户和开发人员参考文档 http://velocity.apache.org/engine/releases/velocity-1.7/developer-guide.html   注释 1.行级注释## 2.多行注释#*  *#   变量定义 使用$开头的字符串是变量定义，例如$var1, $var2,   赋值 使用#set为变量赋值，例
  • 【Kafka十一】关于Kafka的副本管理 bit1129 kafka
    1. 关于request.required.acks   request.required.acks控制者Producer写请求的什么时候可以确认写成功，默认是0， 0表示即不进行确认即返回。 1表示Leader写成功即返回，此时还没有进行写数据同步到其它Follower Partition中 -1表示根据指定的最少Partition确认后才返回，这个在   Th
  • lua统计nginx内部变量数据 ronin47 lua nginx　 统计
    server { listen 80; server_name photo.domain.com; location /{set $str $uri; content_by_lua ' local url = ngx.var.uri local res = ngx.location.capture(
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    import java.util.ArrayList; import java.util.List; public class MaxLenInBinTree { /* a. 1 / \ 2 3 / \ / \ 4 5 6 7 max=4 pass "root"
  • Netty源码学习-ReadTimeoutHandler bylijinnan javanetty
    ReadTimeoutHandler的实现思路： 开启一个定时任务，如果在指定时间内没有接收到消息，则抛出ReadTimeoutException 这个异常的捕获，在开发中，交给跟在ReadTimeoutHandler后面的ChannelHandler，例如 private final ChannelHandler timeoutHandler = new ReadTim
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    <!DOCTYPE html> <html> <head> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" /> <script src="jquery1.8/jquery-1.8.0.
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    浏览器兼容问题一：不同浏览器的标签默认的外补丁和内补丁不同 问题症状：随便写几个标签，不加样式控制的情况下，各自的margin 和padding差异较大。 碰到频率:100% 解决方案：CSS里    *{margin:0;padding:0;} 备注：这个是最常见的也是最易解决的一个浏览器兼容性问题，几乎所有的CSS文件开头都会用通配符*来设
  • Shell特殊变量：Shell $0, $#, $*, $@, $?, $$和命令行参数 daizj shell$#$?特殊变量
    前面已经讲到，变量名只能包含数字、字母和下划线，因为某些包含其他字符的变量有特殊含义，这样的变量被称为特殊变量。例如，$ 表示当前Shell进程的ID，即pid，看下面的代码： $echo $$ 运行结果 29949   特殊变量列表 变量 含义 $0 当前脚本的文件名 $n 传递给脚本或函数的参数。n 是一个数字，表示第几个参数。例如，第一个
  • 程序设计KISS 原则-------KEEP IT SIMPLE, STUPID! dcj3sjt126com unix
    翻到一本书，讲到编程一般原则是kiss：Keep It Simple, Stupid.对这个原则深有体会，其实不仅编程如此，而且系统架构也是如此。 KEEP IT SIMPLE, STUPID! 编写只做一件事情，并且要做好的程序；编写可以在一起工作的程序，编写处理文本流的程序，因为这是通用的接口。这就是UNIX哲学.所有的哲学真 正的浓缩为一个铁一样的定律，高明的工程师的神圣的“KISS 原
  • android Activity间List传值 dcj3sjt126com Activity
    第一个Activity： import java.util.ArrayList;import java.util.HashMap;import java.util.List;import java.util.Map;import android.app.Activity;import android.content.Intent;import android.os.Bundle;import a
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  • Android 数据库事务处理 gqdy365 android
    使用SQLiteDatabase的beginTransaction()方法可以开启一个事务，程序执行到endTransaction() 方法时会检查事务的标志是否为成功，如果程序执行到endTransaction()之前调用了setTransactionSuccessful() 方法设置事务的标志为成功则提交事务，如果没有调用setTransactionSuccessful() 方法则回滚事务。事
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    使用java 语言如何打开浏览器呢? 我们先研究下在cmd窗口中,如何打开网址 使用IE 打开 D:\software\bin>cmd /c start iexplore http://hw1287789687.iteye.com/blog/2153709 使用火狐打开 D:\software\bin>cmd /c start firefox http://hw1287789
  • ReplaceGoogleCDN：将 Google CDN 替换为国内的 Chrome 插件 justjavac chromeGooglegoogle apichrome插件
    Chrome Web Store 安装地址： https://chrome.google.com/webstore/detail/replace-google-cdn/kpampjmfiopfpkkepbllemkibefkiice 由于众所周知的原因，只需替换一个域名就可以继续使用Google提供的前端公共库了。 同样，通过script标记引用这些资源，让网站访问速度瞬间提速吧
  • 进程VS.线程 m635674608 线程
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  • Linux下安装MemCached 字符串 memcached
    前提准备：1. MemCached目前最新版本为：1.4.22，可以从官网下载到。2. MemCached依赖libevent，因此在安装MemCached之前需要先安装libevent。2.1 运行下面命令，查看系统是否已安装libevent。[root@SecurityCheck ~]# rpm -qa|grep libevent libevent-headers-1.4.13-4.el6.n
  • java设计模式之--jdk动态代理（实现aop编程） Supanccy2013 javaDAO设计模式AOP
        与静态代理类对照的是动态代理类，动态代理类的字节码在程序运行时由Java反射机制动态生成，无需程序员手工编写它的源代码。动态代理类不仅简化了编程工作，而且提高了软件系统的可扩展性，因为Java 反射机制可以生成任意类型的动态代理类。java.lang.reflect 包中的Proxy类和InvocationHandler 接口提供了生成动态代理类的能力。 &
  • Spring 4.2新特性-对java8默认方法(default method)定义Bean的支持 wiselyman spring 4
    2.1 默认方法(default method) java8引入了一个default medthod; 用来扩展已有的接口,在对已有接口的使用不产生任何影响的情况下,添加扩展 使用default关键字 Spring 4.2支持加载在默认方法里声明的bean 2.2 将要被声明成bean的类 public class DemoService {
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