关于字符串哈希的一点总结

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字符串哈希

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1. 定义$f(s)$，表示字符串$s$映射到整数的函数。$f$为哈希函数。

2. 哈希函数有两个性质

   1. 在 Hash 函数值不一样的时候，两个字符串一定不一样；

   2. 在 Hash 函数值一样的时候，两个字符串不一定一样（但有大概率一样，且我们当然希望它们总是一样的）。

3. Hash 函数值一样时原字符串却不一样的现象我们成为哈希碰撞。

4. 定义哈希函数公式等于(定义$len(s)$表示字符串$s$的长度)$f(s)={\sum }_{i=1}^{len(s)}int(s[i])\ast bas{e}^{len(s)-i}\%M$简单来说，比如字符串abc，（其中我们令a=1，依次往后推）我们定义$f(s)=(bas{e}^3\ast 1+bas{e}^2\ast 2+bas{e}^1\ast 3)\%M$可以类比二进制，这里是base进制。

5. 这里$M$需要一个质数，哈希碰撞的概率为$(l-1)/M$所以应该尽可能选择大的模数。

6. 代码实现（这里使用unsigned long long 来实现取模，c++自带的unsigned long long自动取模$2^{63}-1$，可以看到哈希冲突的概率基本为零。）

#define unsigned long long ull
ull Hash[N],poww[N],base[N];
string s;
ull base=233333//自己想怎么选就怎么选，选个质数
void init()
{
	Hash[0] = 0;
	poww[0] = 1;
	upd(i, 1, len)
	{
		Hash[i] = Hash[i - 1] * base + s[i] - 'a';
	}
	upd(i, 1, len)poww[i] = poww[i - 1] * base;
}
ull querry(int l, int r)
{
	return Hash[r] - Hash[l - 1] * (poww[r - l + 1]);
}

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注意一下代码的细节。针对查询操作。比如我们要对比两个字符川在[L,R]区间是不是一样的。由于$f(s)$函数的性质，哈希[L,R]区间的函数值 $val=f(r)-f(l)\ast bas{e}^{r-l+1}$。

为什么呢。比如abcd的哈希值

$f(s==abcd)=bas{e}^4\ast a+bas{e}^3\ast b+bas{e}^2\ast c+bas{e}^1\ast d$。

如果我们计算区间[2,3]的哈希值，$f(s==abc)=bas{e}^3\ast a+bas{e}^2\ast b+bas{e}^1\ast c$

然后是 $f(s==a)=bas{e}^1\ast a$那么区间[2,3]的哈希值就等于$f(s==abc)-f(s==a)\ast bas{e}^2=bas{e}^3\ast a+bas{e}^2\ast b+bas{e}^1\ast c-bas{e}^1\ast a\ast bas{e}^2=bas{e}^2\ast b+bas{e}^1\ast c$

这就是哈希字符串bc的哈希值。也就是$f(bc)==f(r)-f(l)\ast bas{e}^{r-l+1}==f(s==abc)-f(s==a)\ast bas{e}^2$。

依据这个性质，我们能够对比任意等长字符串是不是同一个字符传。

入门题目 ：https://www.luogu.com.cn/problem/P3370、

1.值得注意的是，尽管这样做哈希冲突的概率极小，但仍然有可能。所以可以使用两个哈希函数。选取不同的base即可。不放心还可以同时选取不同的base和模数。然后每一次比较哈希值的时候，两个同时比较。只有两个同时向邓，才能表示这两个字符串的哈希值相等。

2.不一定只有字符串才能用这种哈希，只要是区间对比是不是一样的题目，或者其他变形题目，都可以用以上的方法，进行哈希然后O(1)复杂度判断是否相等。