2022-11-17

今天看到“贲友林学为中心”公众号里有这样一个数学问题，引发了我的思考。是有关三年级《认识周长》的一节练习课上老师拿出一张长方形纸，问道：“在长方形上减去一个边长为4厘米的小正方形，使得图形的周长变大，你有办法吗？”有同学提出，可以在图形内部剪，周长增加了16厘米。剪在图形内部，周长增加了吗？

在当时的课堂上，老师因为时间关系，暂时搁置了学生的想法，但在随后的教学过程中，组织学生展开了讨论。学生提出了如下想法：

观点一，周长应该是图形一周边线的总长，剪在图形内部，原来长方形一周边线的总长没有发生变化，所以并没有增加周长。

观点二，周长应该是围成图形所有边长的总和，剪在图形内部，图形由一组封闭的边线变为了两组封闭的边线，一组是原来长方形的周长，另一组是新增正方形的周长，这一环状图形（如下图）周长应为内圈周长和外圈周长总和，所以周长增加了。

学生的两种观点很有代表性，都抓住了小学阶段对周长内涵的认识，为什么会得出矛盾的结论，我认为原因如下：

首先，小学阶段所研究的周长仅限于简单图形，或者说是基本图形的周长。以苏教版教材为例，我们在引导学生认识周长的过程中是先指一指书签一周边线，再描一描三角形、长方形等基本图形一周的边线，进而直观感知周长的概念。基于基本图形的感知，自然会得出周长是图形“一周边线总长”“所有边线长度的总和”。

其次，这里的环状图形超越了我们目前所学的基本图形范畴。将剪完的图形抽象出来，发现是一个由大长方形和小正方形组合而成的平面图形，属于组合图形。那么，问题自然转变成作为组合图形的环状图形有周长吗？答案是显然的，环状图形有周长，只是一般情况下，我们并不求环状图形各部分的总周长，而是将其分解为基本元素，即分为一个个基本图形，分部分来看待它。比如，我们会求圆环的外周长（外圈圆的周长）和内周长（内圈圆的周长）。生活中有这样的场景吗？比如，戒指或手镯等就是环状物品，在购买戒指的时就会测量戒指的内周长等。

让我感触有很多，之前我也教过三年级数学的周长这节课，学生们却没有这样的思考和疑问，我想能让学生思维能力提高的重要一点就是源于老师的引导，以及如何激发学生好问的品质，敢于想，敢于表达。而遇到这样学生提出的问题和想法后是否能准确应对，我看到这个问题时也是内心知道怎么回事但却讲不清楚，尤其是针对小学生，如何在给学生讲明白重难点的基础上这个知识点该掌握的程度，同时不能消减了学生好问的积极性。能机智合理地应对教学真的很不容易。