【leetcode 力扣刷题】数学题之数的开根号：二分查找

69. x的平方根

题目链接：69. x的平方根
题目内容：

题意是要我们求一个数的算数平方根，但是不能使用内置函数，那么我们就暴力枚举。我们知道如果y>=2的话，y*y >= 2*y，所以我们不需要遍历1~x，只需要遍历1~x/2。需要注意x很大时，判断y*y和x的大小关系，y*y可能会溢出，因此应该换成比较y和x/y的大小关系。完整代码如下（C++）：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
    	//特殊情况——0、1，实际上不单独写也行
        if(x == 1) return 1;
        long curr = 1;
        //不能用curr*curr，可能会溢出
        while(curr <= x/curr)
            curr++;
        //循环结束时curr*curr > x，所以需要-1
        return curr-1;
    }
};

上面是直接暴力枚举，可以用二分查找来优化，查找范围还是1~x/2。代码如下（C++）：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x == 0) return 0;
        int left = 1, right = x>>1;
        int ans = 1;
        //二分法
        while(left <= right){
            int mid = left + (right - left)/2;
            if(mid <= x/mid){
                ans = mid; //更新ans
                left = mid + 1;
            }
            else{
                right = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
};

接下来是一种数学方法——牛顿迭代。假设有函数f(x) = x^2 - C，其中C等于题目给出的x，函数f(x)的零点就是±根号C，其中正的那个向下取整就是答案。牛顿更新法首先将x0初始化为C，在(x0, f(x0))处的切线斜率为2*x0，切线与x轴的交点为x1 = (x0^2 +C/(2*x))；之后将x0更新为x1，x0就逐渐向答案逼近。何时终止呢？如果循环用**while(x0 > x/x0)**的话，有些测试用例，比如x=7，会超出时间限制。因为后面x0和x1差异很小，更新非常缓慢，此时也已经接近零点了【因为在零点处，与x轴的交点就是自己】。因此要使用fabs(x1 - x0) < 1e-7这样的条件跳出循环【其中1e-7表示极小的非负数，判断x1和x0是否差异极小，非常接近】。完整代码如下：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if(x == 0) return 0;
        double C = x, x0 = x;
        while(x0 > x/x0){
            double x1 = 0.5 *(x0 + C/x0);
            if(fabs(x0 - x1) < 1e-7)
                break;
            x0 = x1;
        }
        return int(x0);
    }
};

367. 有效的完全平方数

题目链接：367. 有效的完全平方数
题目内容：

这道题目和上面一道题目其实是一样的。用上面题的方法求得其向下取整的平方根ans，如果ans*ans == num，就说明其是完全平方数，如果ans*ans < num，说明其不是完全平方数。
代码如下：（C++）

• 暴力

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        if(num == 1) return true;
        long curr = 1;
        while(curr < num/curr)
            curr++;
     	//判断
        if(curr*curr == long(num)) return true;
        return false;

    }
};

• 二分

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        if(num == 0) return true;
        int left = 1, right = num/2;
        long ans = 1;
        while(left <= right){
            int mid = left + (right - left)/2;
            if(mid <= num/mid){
                ans = mid;
                left = mid + 1;
            }
            else 
                right = mid - 1;
        }
        return ans*ans == long(num) ? true : false;
    }
};

• 牛顿迭代

class Solution {
public:
    bool isPerfectSquare(int num) {
        double x0 = num;
        while( x0 > x0/num){
            double x1 = 0.5 *(x0 + num/x0);
            //跳出循环
            if(fabs(x0-x1)<1e-7)
                break;
            x0 = x1;
        }
        return int(x0)*int(x0) == num ? true : false;
    }
};