有理函数拆分

有理函数格式

$$\boxed{两个多项式的商\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}称为有理函数}$$

真分式和假分式

前题:$\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ 没有公因式

$n>m$ : 假分式

$n<m$ : 真分式

展开为更简化的有理函数

因子中x的系数假设已经被我们提取出来，当然也可以放进去展开

$$\begin{array}{rl}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}& =\frac{P_n(x)}{(x+a{)}^k(x+b{)}^l(x^2+px+q{)}^s}\\ & \\ & =\frac{A_1}{(x+a)}+\frac{A_2}{(x+a{)}^2}+\cdots +\frac{A_k}{(x+a{)}^k}\\ & \\ & +\frac{B_1}{(x+b)}+\frac{B_2}{(x+b{)}^2}+\cdots +\frac{B_l}{(x+b{)}^l}\\ & \\ & +\frac{C_{1}x+D_1}{(x^2+px+q)}+\frac{C_{2}x+D_2}{(x^2+px+q{)}^2}+\cdots +\frac{C_{s}x+D_s}{(x^2+px+q{)}^s}\end{array}$$

我们要求 $\Delta =p^2-4q<0$ 这样表示实数范围内不可拆分为因子相乘的形式，也就是复根

$(ax+b{)}^k$ 一次k重，就是常说的重根

Apart[t] 与 ApartSquareFree[t]

1. Mathematica 中的 Apart 拆分有理函数 更加细致，基本类似如上的分解规则。
2. ApartSquareFree[t] 只保证分母因子底数不可平方，不包括幂。
3. Factor[多项式] 这个可以找出因子项。