图：最小生成树（Prim算法，Kruskal算法）

1.最小生成树的概念

又称最小代价树。

1.生成树

回顾之前生成树的概念：
连通图（无向图）的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图（边尽可能的少，但要保持连通）。
在这篇文章中有详细的讲解：图的基本概念

2.最小生成树

对于一个带权连通无向图G=(V,E)，生成树不同，每棵树的权〈即树中所有边上的权值之和)也可能不同。设R为G的所有生成树的集合，若T为R中边的权值之和最小的生成树，则T称为G的最小生成树(Minimum-Spanning-Tree, MST)

最小生成树具有以下特点：

• 最小生成树可能有多个，但边的权值之和总是唯一且最小的。
• 最小生成树的边数=顶点数–1。
• 砍掉一条则不连通，增加一条边则会出现回路。

注意：

• 如果一个连通图本身就是一棵树，则其最小生成树就是它本身。
• 只有连通图才有生成树，非连通图只有生成森林。

这里提出两种求最小生成树的算法：.Prim算法和Kruskal算法。

2.Prim算法（普利姆）

1.算法步骤

1. 从图里的某一个顶点开始构建生成树
2. 每次将代价最小的新顶点纳入生成树，直到所有顶点都纳入为止。

2.时间复杂度

时间复杂度:O(IV|²)适合用于边稠密图(E的值比较大).

3.算法思想

1. 创建两个数组，一个用于标记各个节点是否已经加入树，一个用于存储各个节点加入树的最小代价。
2. 第1轮:循环遍历所有个结点，找到lowCast（代价）最低的，且还没加入树的顶点。
3. 再次循环遍历，更新还没加入的各个顶点的lowCast值。
4. 第2轮:循环遍历所有个结点，找到lowCast最低的，且还没加入树的顶点。

每一轮是O(N)的时间复杂度，总共进行N-1轮,所以总的时间复杂度就是O(N²)。

3.Kruskal算法（克鲁斯卡尔）

1.算法步骤

1. 每次选择—条权值最小的边，使这条边的两头连通(原本已经连通的就不选)
2. 直到所有结点都连通。

2.时间复杂度

时间复杂度:O(|E|log2lE|),适合用于边稀疏图（E的值比较小）.

3.算法思想

1. 初始:将各条边按权值排序。
2. 第1轮︰检查第1条边的两个顶点是否连通(是否属于同一个集合)。（并查集的操作）
3. 若不连通，就连起来。
4. 若连通，则跳过。

共执行e轮，每轮使用并查集判断两个顶点是否属于同一集合，需要O(log2e)总时间复杂度O(elog2e).