3种算法求主元素

问题描述

主元素是一个数组里面个数大于一半的数。若有则返回主元素，没有则返回-1；

法一：分治法

复杂度$O(n\log n)$

用分治法寻找其主元素。设$x$为其主元素，原数组分成两半，则$x$是$T[1:n/2]$或$T[n/2+1:n]$的主元素。

若两个数组均没有主元素，则原数组没有主元素。

之后，为了判定$x$是否为$T[i:j]$的主元素，需要对$T[i:j]$进行一次线性扫描即可。

$$T(n)=\{\begin{array}{ll}O(1)& n<=4\\ 2T(n/2)+O(n)& n>4\end{array}$$
解得$T(n)=O(n\log n)$

代码

#include
#define max_len 50
using namespace std;
int a[max_len];
int de(int l, int r){
	if((r+1-l)<=4){
		if((r+1-l)==1){
			return a[l];
		}
		else if((r+1-l)==2){
			if(a[r]==a[l]){
				return a[l];
			}
			else return -1;
		}
		else if((r+1-l)==3){
			//cerr<<"in 3---"<
			if(a[l]==a[l+1])return a[l];
			else if(a[l]==a[l+2])return a[l];
			else if(a[l+1]==a[l+2])return a[l+1];
			else return -1;
		}	
		else{
			int t[4] = {a[l],a[l+1],a[l+2],a[l+3]};
			//for(int i = 0;i<4;i++) cerr<
			//cout<
			sort(t,t+4);
			//for(int i = 0;i<4;i++) cerr<
			//cout<
			if(t[1]==t[2]) return t[1];
			else return -1;
		}
	}
	int c = (l+r)/2;
	int ans1 = de(l,c);
	//cerr<<"ans1------:"<
	int ans2 = de(c+1,r);
	//cerr<<"ans2------:"<
	int ans = -1;
	if(ans1!=-1){
		int cnt = 0;
		//cerr<<"l:"<
		for(int i = l;i<=r;i++) if(a[i]==ans1)cnt++;
		//cerr<<"cnt1---:"<
		if(cnt>(r+1-l)/2) ans = ans1;
	}
	if(ans2!=-1){
		int cnt = 0;
		//cerr<<"l:"<
		//for(int i = l;i<=r;i++) cout<
		for(int i = l;i<=r;i++) if(a[i]==ans2)cnt++;
		//cerr<<"cnt2---"<
		if(cnt>(r+1-l)/2) ans = ans2;
	}
	return ans;
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i = 0;i<n;i++)cin>>a[i];
	int l = 0;
	int r = n-1;
	int ans = de(0,n-1);
	cout<<ans;
	return 0;
}

法二

复杂度$O(n)$

对$1\le i\le n/2$,比较

$T[2\ast i-1]与T[2\ast i],当T[2\ast i-1]=T[2\ast i]时，将T[2\ast i]$存入另一个数组Q中，否则不操作。

若$x$是$T[1:n]的主元素，则x是Q的主元素或T[n]是T[1:n]的主元素。$

代码

复杂度分析：
$$T(n)=\{\begin{array}{ll}O(1)& n\le c\\ T(n/2)+O(n)& n>c\end{array}$$
解得$T(n)=O(n)$.
代码如下：

#include
#define max_len 50
using namespace std;
int a[max_len];
int cnt,c_ans;
int select(int t[],int len){
	if(len%2==1){
		int tmp = t[len];
		for(int j = 1;j<=len;j++){
			if(tmp == t[j]) c_ans++;
		}
		if(c_ans>len/2){
			c_ans = 0;
			return tmp;
		}
	}
	if(len==0) return -1;
	if(len==1) return t[len];
	cnt = 0;
	int q[max_len] = {0};
	memset(q,0,sizeof(q));
	for(int i = 1;i<=len/2;i++){
		if(t[2*i] == t[2*i-1]){
			cnt++;	
			q[cnt] = t[2*i];
		}
	}
	return select(q,cnt);
} 
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i = 1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	int ans = select(a,n);
	if(ans==-1)cout<<-1;
	else{
		for(int j = 1;j<=n;j++){
			if(ans == a[j]) c_ans++;
		}
		if(c_ans>n/2)cout<<ans;
		else cout<<-1;
	}
	return 0;
} 

法三

复杂度$O(n)$

取$tmp初始化为a[0]$，之后遍历数组，若$a[i]==tmp$，则$cnt=cnt+1,$否则$cnt=cnt-1,当cnt=0时，更新tmp为此时扫描到的a[i]$.

之后，检查$cnt$的值，若$cnt\ne 0$，此时对应的$tmp$值就是主元素。$cnt\le 0$则说明没有主元素。
复杂度分析：
只遍历了一次数组，所以
$$T(n)=O(n)$$

代码

#include
#define max_len 50
using namespace std;
int a[max_len];
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i = 0;i<n;i++)cin>>a[i];
	int cnt = 1;
	int it = 1;
	int tmp1 = a[0];
	while(it<n){
		int tmp2 = a[it++];
		if(tmp1==tmp2)cnt++;
		else cnt--;
		if(cnt<=0){
			tmp1 = tmp2;
			cnt = 0;
		}
	}
	cout<<endl;
	if(cnt!=0)cout<<tmp1;
	else cout<<-1;
	return 0;
}