Hamilton力学的辛算法简介

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外微分形式与辛几何

外微分形式

• 1-形式
• 2-形式
• 闭2-形式（辛构造）

Euclid Space

• 符合如下内积定义的线性空间V称为Euclid空间
  • 对称性 (a, b) = (b, a)
  • 线性
    • (a, kb) = k(a, b)
    • (a+c, b) = (a, b) + (c, b)
  • 非简并性
    • (a, a)>= 0 当且仅当 a=0 时 (a, a) = 0

Simplectic Space

defination 

• 具有如下内积定义的线性空间W称为 辛空间
  • 反对称性 (a, b) = -(b, a)
  • 双线性
    • (a_1+a_2, b) = (a_1, b) + (a_2, b)
    • (a, b_1+b_2) = (a, b_1) + (a, b_2)
  • 非简并性
    • 若向量a 对于W中的任意向量b均匀(a, b)=0,则a=0

Simplectic Space 

• 度量
  • 做功
  • 面积 体积
  • 流量
• 辛内积
  • 单位辛矩阵 
  • 

单位辛矩阵的性质

decision theorem of simplectic matrix 

Euclid space and Simplectic space 

• 内积
• 单位阵与单位辛矩阵
• 正交与辛正交
• 正交归一基于共轭正交归一基
• 对称变换与Hamilton变换
  • 实对称矩阵的本征值为实数
  • 实对称矩阵不同本征值的本征向量正交
  • 实对称矩阵所有的本征向量构成一组正交归一基

Simplectic structure of Simplectic space 

Simplectic structure of canonical transformation

basic concept

1. 
2. 
3.   
4. simplectic transformation 

Properties of Simplectic transformation 

infinitesimal Simplectic matrix

define

• 若，则该阵为无穷小辛阵

Dcision Theorem

1. 若C为对称阵，当且仅当B = J_{2n}C 时，B为无穷小辛阵

Advantage of Simplectic algorithm 

• 保证相空间体积不变
• 保证力学守恒量守恒