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Matlab在复变函数中应用

数学实验(一)

西安交通大学理学院

二○○八年十一月

MATLAB在复变函数中的应用

复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸,但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同,特别是当它引进了“留数”的概念,且在引入了Taylor级数展开Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。

使用MATLAB来进行复变函数的各种运算;介绍留数的概念及MATLAB的实现;介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开和Laurent展开;利用Matlab 实现Laplace变换和Fourier变换。

1 复数和复矩阵的生成

在MATLAB中,复数单位为,其值在工作空间中都显示为。

1.1 复数的生成

复数可由语句生成,也可简写成。

另一种生成复数的语句是,也可简写成,其中theta为复数辐角的弧度值,r为复数的模。

1.2 创建复矩阵

创建复矩阵的方法有两种。

(1)如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵

例如:

(2)可将实、虚矩阵分开创建,再写成和的形式

例如:

注意 实、虚矩阵应大小相同。

2 复数的运算

1.复数的实部和虚部

复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。

调用形式

返回复数的实部

返回复数的虚部

2.共轭复数

复数的共轭可由函数conj实现。

调用形式

返回复数的共轭复数

3.复数的模和辐角

复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。

调用形式

复数的模

复数的辐角

例:求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角

(1)(2)(3)(4)

由MATLAB输入如下:

%实部

0.23081.5000–3.50001.0000

%虚部

–0.1538–2.5000–13.0000–3.0000

%共轭复数

0.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i –3.5000+13.0000i1.0000+3.0000i

%模

0.27742.915513.46293.1623

%辐角

–0.5880–1.0304–1.8228-1.2490

4.复数的乘除法

复数的乘除法运算由“/”和“”实现。

例 复数的乘除法演示。

由此例可见,相当于,和不相等。

5.复数的平方根

复灵敏的平方根运算由函数sqrt实现。

调用形式

sqrt(x)返回复数的平方根值

6.复数的幂运算

复数的幂运算的形式为,结果返回复数的次幂。

例 求下列各式的值

0.8660+0.5000 i

7.复数的指数和对数运算

复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。

调用形式

返回复数x的以e为底的指数值

返回复数x的以e为底的对数值

例 求下列式的值(参见参考资料【4】P.68.2–15)。

8.复数的三角函数运算

复数的三角函数运算函数参见下面的复数三角函数

复数三角函数表

函数名

函 数 功 能

函数名

函 数 功 能

返回复数的正弦函数值

返回复数的反正弦值

返回复数的余弦函数值

返回复数的反余弦值

返回复数的正切函数值

返回复数的反正切值

返回复数的余切函数值

返回复数的反余切值

返回复数的正割函数值

返回复数的反正割值

返回复数的余割函数值

返回复数的反余割值

返回复数的双曲正弦值

返回复数的双曲余切值

返回复数的双曲余弦值

返回复数的双曲正割值

返回复数的双曲正切值

返回复数的双曲余割值

9. 复数方程求根

复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。见下面的例子.

例 求方程所有的根(参见参考资料【4】P.32.1–16)。

[ –2]

3 留数

留数定义:

设a是的孤立奇点,C是a的充分小看邻域内一条把a点包含在其内部的闭路,积分称为在a点的留数或残数,记作。在MATLAB中,可由函数residue实现。

residue 留数函数(部分分式展开)

函数返回留数,极点和2个多项式比值的部分分式展开的直接项。

如果没有重根,则向量B和A为分子、分母以s降幂排列的多项式系数,留数返回为向量R、极点在向量P的位置,直接项返回到向量K。极点的数目。如果,则直接项系数为空;否则。如果存在M重极点即有则展开项包括以下形式

有3个输入变量和2个输出变量,函数转换部分因式展开还为系数为B和A的多项式比的形式。

注意:数值上讲,分式多项式的部分因式展开实际上代表了一类病态问题。

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