时间复杂度

时间复杂度

  • 时间复杂度
    • 时间复杂度的定义:
    • 大O的渐进表示法

时间复杂度

时间复杂度的定义:

在计算机科学中,算法的时间复杂度是一个函数,它定量描述了该算法的运行时间

一个算法执行所耗费的时间,从理论上说,是不能算出来的,只有你把你的程序放在机器上跑起来,才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗?是可以都上机测试,但是这很麻烦,所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例,算法中的基本操作的执行次数,为算法的时间复杂度。

即:找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式,就是算出了该算法的时间复杂度。

时间复杂度_第1张图片
N = 10,Fuc2(N) = 60+26
N = 100 ,Fuuc2(N) = 600+26
N = 1000, Fuc2(N) = 6000+26
这时候我们发现消耗的时间和N呈线性关系,所以我们实际计算时间复杂度的时,我们其实并不一定要计算精确的执行次数,而只需要大概执行次数,那么这
里我们使用大O的渐进表示法。

大O的渐进表示法

大O符号(Big O notation):是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法:

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后,Func1的时间复杂度为:
O(N)
N = 10,Fuc2(N) = 10
N = 100 ,Fuuc2(N) = 100
N = 1000, Fuc2(N) = 1000
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项,简洁明了的表示出了执行次数。
按照以下规律进行忽略:
在这里插入图片描述

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况:
最坏情况:任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况:任意输入规模的期望运行次数
最好情况:任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如:在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况:1次找到
最坏情况:N次找到
平均情况:N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况,所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

接下来我们看一些实例:
例1:

// 计算Func3的时间复杂度?
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

第一个for循环大概执行了M次,第个for循环大概执行了N次
时间复杂度为:O(M+N)

例2:

// 计算Func4的时间复杂度?
void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);

我们大致一看大概执行了100个时间单位,认为时间复杂度为O(100),然而不是O(100) ,只要为常数次都为O(1)
所以他的时间复杂度为:O(1)

例3:

// 计算strchr的时间复杂度?
//这是我模拟的strchr函数
//该函数的功能就是在一个字符串中寻找一个字符,若找到返回该字符在字符串中的地址,找不到返回NULL
char* my_strchr(const char* str, const char ch)
{
	assert(str);
	const char* dest = str;
	while (dest != '\0' && *dest != ch)
	{
		dest++;
	}
	if (*dest == ch)
		return (char*)dest;
	return NULL;
}

这时候我们会发现最好情况:可能循环只需要调用一次就可以找到了,时间复杂度为常数次O(1) ;最坏情况乱:循环要调用N次,时间复杂度为:O(N)
时间复杂度_第2张图片

所以该时间复杂度为:O(N)

例4

// 计算BubbleSort的时间复杂度?(冒泡排序)
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

时间复杂度_第3张图片
故时间复杂度为O(N2)

例5:

// 计算BinarySearch的时间复杂度?(二分查找)
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 // [begin, end]:begin和end是左闭右闭区间,因此有=号
 while (begin <= end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid-1;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
}

基本操作执行最好1次,最坏O(logN)次,时间复杂度为 O(logN)

例6:

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度?
long long Fac(size_t N)
{
 if(0 == N)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

时间复杂度_第4张图片
所以递归了N次,时间复杂度为O(N)

例7:

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度?
long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

时间复杂度_第5张图片
所以执行次数为等比数列求和减去一个常数,故时间复杂度为O(2N)

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