动态规划之照明路灯

题目

一条长l的笔直的街道上有n个路灯，若这条街的起点为0，终点为l，第i个路灯坐标为ai ，每盏灯可以覆盖到的最远距离为d，为了照明需求，所有灯的灯光必须覆盖整条街，但是为了省电，要使这个d最小，请找到这个最小的d。
来源：牛客网

测试用例

输入：
每组数据第一行两个整数n和l（n大于0小于等于1000，l小于等于1000000000大于0）。第二行有n个整数(均大于等于0小于等于l)，为每盏灯的坐标，多个路灯可以在同一点。
7 15
15 5 3 7 9 14 0

输出：
输出答案，保留两位小数。
2.50

思路

• 约束：
  1. 灯光覆盖整条街。
  2. d能满足要求，且取最小值。
• 路灯照射区域为圆形区域，d可以作为半径。
• 为了使d尽可能小，在满足能够完全覆盖的情况下，需要尽量减少重合区域。
• 我们需要优先满足大间隔的覆盖，之后处理小间隔。
• 我们设计间隔变化的状态转移方程：
  1. L：左端第一个路灯到道路左端的距离。
  2. R: 右端第一个路灯到道路右端的距离。
  3. M: 两端路灯之间的最大距离/2(因为此处两边都有路灯)。
• 此处处理$M$遇到一些障碍，每次遍历找到最大$M$明显是不智的。如果我们事先将路灯位置数组$nums$排序，我们的$L$不会频繁变化，$M$也只需要计算新增的间隔与上一步$M$比较即可。

$$\begin{array}{rl}& Sort(nums)\\ L& =nums[0]-0\\ R& =l-nums[i]\\ M& =MAX(nums[i]-nums[i-1],M)\\ d& =MAX(L,R,M)\end{array}$$

import java.util.*;
public class Main{
    
    public static void solve(int n,int l,int[]index){
        double L = 0,R = 0,M = 0,d = 0;
        Arrays.sort(index);
        L = index[0] - 0;
        R = l - index[n-1];
        double tmp = L>R?L:R;
        for(int i=1;i<n;i++){
            M = M>(index[i]-index[i-1])/2.0?M:(index[i]-index[i-1])/2.0;
        }
        d = M>tmp?M:tmp;
        
        System.out.println(String.format("%.2f",d));
    }
    
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        
        while(sc.hasNextInt()){
            int n = sc.nextInt();
            int l = sc.nextInt();
            int[] index = new int[n];
            for(int i=0; i< n ;i++){
                index[i] = sc.nextInt();   
            }
            solve(n,l,index);
        }
    }
}

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