环上计数+计数转概率：ABC318EX

https://atcoder.jp/contests/abc318/tasks/abc318_h

先转为概率，$f_i$ 表示 $i$ 个点两人都AC的概率，$g_i$ 表示恰好一个人AC的概率。

两个人都AC，只能为全部自环，$f_i=\frac{1}{i!}$

现在求 $g_n$。然后有个定理，$n$ 个点形成的图形，$n$ 所在的环的大小在 $[1,n]$ 内随机生成。（很好证明）

然后考虑枚举 $n$ 所在的环大小为 $i$，先考虑由 $f$ 推向 $g$ 的情况。剩下 $n-i$ 个点两个人都AC，所以为 $f_{n-i}$。那么当前这个环只能有一个人AC，所以环大小至少为2。

此时谁AC都可以，所以最小的那条边有两个选择，即 $\frac{2}{i}$。因此 $f\to g$ 的答案为：

$$g_n=\frac{{\sum }_{i=2}^n\frac{2}{i}{f}_{n-i}}{n}$$

现在考虑 $g\to g$ 的贡献。之后的贡献为 $g_{n-i}$。发现他已经保证了恰好一个人AC，而且已经确定了这个人是谁。那么当前这个环的选择唯一，但大小可以使1，因为即使两个人在这个环内同时AC也无所谓。

$$g_n=\frac{{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i}{g}_{n-i}}{n}$$

结合起来就是：

$$g_n=\frac{{\sum }_{i=1}^n(\frac{2}{i}{f}_{n-i}(i\ne 1)+\frac{1}{i}{g}_{n-i})}{n}$$

令 $a_i=\frac{2}{i}$ 且 $a_1=0$，$b_i=\frac{1}{i}$

然后上面就变成了：

$$g_n=\frac{{\sum }_{i=1}^n(a_i{f}_{n-i}+b_i{g}_{n-i})}{n}$$

前面NTT，后面是个分治NTT即可。