指数有关的讲解
写这一篇内容的原因在于看到班里有许多同学不清楚这些内容,所以在这里写了这个希望可以帮助大家
目录
- 幂函数
- 指数函数
- 对数函数
幂函数
一般情况下,当我们遇到之类的式子,一定会想:该怎么样把它们化成一项呢?
于是就诞生了幂函数
幂函数是形如的式子,在实数范围内的任意a都有对应的函数,这与我们之前所了解的在正整数范围内定义的阉割版有所不同,那不同以后是什么样子呢?让我们分类讨论:
a为正整数
可以看到图像和所学的正常状态一样
a为负数
它的图像为
这是.....反比例函数?
没错,这就是反比例函数!
于是可以想到
那么就是说如果遇到也就可以直接化为一项了
a为分数
长得就像把倒过来一样,事实上它补全以后确实跟关于轴对称
理所当然地就可以想到的逆运算
所以连起来就是
所以有时化成就好很多了
注意:幂函数图像只有在a<0时单减,其他时候单增
以上,我们讨论了在实数范围内所有a对应的幂函数形式,在这基础上进行公式的化简就简单很多了,在计算时只要留心就能会 但依然不会计算,那如何计算呢?
各位在刚刚看过上面的部分后应该已经有了一些头绪,这里列出计算规则以供证实各位的理解:
-
同底数的幂的积(商)
因为
所以
综上
同时
-
幂的幂
听起来挺拗口的,不过想来也不太难
优秀的式子,简单的推导
注意!
因为
这下诸位应该可以了解幂函数的操作了吧 要还是不会我砍了你
指数函数
在学习了幂函数后,我们感觉好像少了些什么,"x"是可以充当任何成分的符号,那么既然它可以充当底数,那么指数应该也可以,就像一样 let us think it again and again!
第一步理所应当地是看一看取值范围是什么
a=1时.也就是说,就是一条水平的直线, 这东西讨论它干嘛
a0时看似没问题但问题大了去,先不论虚数的出现,光是因为x奇偶性的变化导致图像在x轴上下反复横跳就已经很烦人了,所以PASS.
综上,取值范围就是
在这个范围内,让我们看看特殊值:
x=0时
也就是说对于任意a,它们都过(0,1)点
根据这些信息就可以优雅地画出图像
可以看到 "与关于y轴对称,f(x)取不到0及以下的值" 的特点
特别地,在a>1时单增,在0 记不记得我们有提到过和它的反函数关于轴对称 那么指数函数有没有这样一个反函数呢?让我们想一想 反函数就相当于把原函数的x和y对调得到的函数 那么要如何表示呢? 自己造一个符号! 于是有了用来表示这个奇怪的反函数,甚至我们还可以给它起个名叫对数函数 这个式子也可以理解成 "看看a的多少次方是x" 它的图像也不必多说,把指数函数倒着看即可 一般情况下用10做底数的比较常见,为了书写方便,把"以10为底x的对数"写作 在虚数和复数领域会用到e(一个由级数得到的无理数)做底,于是把"以e为底x的对数"写作 但光掌握定义还不够,正如幂函数那里所提到的那样,不会计算是不行的 对数的计算和幂函数完全相反,这里列表以供对照 特别地,它有一些特殊的运算 了解了这些,相信各位都把有关指数的知识点烂熟于心了吧 没懂?再看一遍对数函数
you think too much!
运算
幂函数
对数函数
加&乘
减&除
乘&乘方
和