本节将介绍凸优化问题,主要介绍凸优化问题的基本定义、凸优化与非凸优化问题的区分。
关于最优化问题 P \mathcal P P描述如下:
P ⇒ { min f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) s.t. { G i ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ≤ 0 i = 1 , 2 , ⋯ , m H j ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = 0 j = 1 , 2 , ⋯ , l \mathcal P \Rightarrow \begin{cases} \min f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \\ \text{s.t. } \begin{cases} \mathcal G_i(x_1,x_2,\cdots,x_n) \leq 0 \quad i=1,2,\cdots,m \\ \mathcal H_j(x_1,x_2,\cdots,x_n) = 0 \quad j=1,2,\cdots,l \end{cases} \end{cases} P⇒⎩ ⎨ ⎧minf(x1,x2,⋯,xn)s.t. {Gi(x1,x2,⋯,xn)≤0i=1,2,⋯,mHj(x1,x2,⋯,xn)=0j=1,2,⋯,l
同时记最优化问题的可行域 S \mathcal S S为:
从
可行域中采样出的
x ∈ S x \in \mathcal S x∈S也被称作
可行解。
S = { x ∈ R n ∣ G i ( x ) ≤ 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , m ; H j ( x ) = 0 , j = 1 , 2 , ⋯ , l } \mathcal S = \{x \in \mathbb R^n \mid \mathcal G_i(x) \leq 0,i=1,2,\cdots,m;\mathcal H_j(x) = 0,j=1,2,\cdots,l\} S={x∈Rn∣Gi(x)≤0,i=1,2,⋯,m;Hj(x)=0,j=1,2,⋯,l}
什么情况下,最优化问题 P \mathcal P P被称作凸优化问题 ? ? ?针对上述描述,需要满足如下三个条件:
观察不等式约束函数 G i ( x ) \mathcal G_i(x) Gi(x),为什么要强调它们是凸函数 ? ? ?,首先,观察不等式约束的描述:
G i ( x ) ≤ 0 i = 1 , 2 , ⋯ , m \mathcal G_i(x) \leq 0 \quad i=1,2,\cdots,m Gi(x)≤0i=1,2,⋯,m
这种描述明显是:关于函数 G i ( x ) \mathcal G_i(x) Gi(x)在水平值 a = 0 a=0 a=0处的水平集 L i ; 0 \mathcal L_{i;0} Li;0:
关于
水平集的概念,详见
凸函数:定义与基本性质。
L i ; 0 = { x ∣ G i ( x ) ≤ 0 , x ∈ R n ; i = 1 , 2 , ⋯ , m } \mathcal L_{i;0} = \{x \mid \mathcal G_i(x) \leq 0,x \in \mathbb R^n;i=1,2,\cdots,m\} Li;0={x∣Gi(x)≤0,x∈Rn;i=1,2,⋯,m}
根据水平集的定义:如果 G i ( x ) , i = 1 , 2 , ⋯ , m \mathcal G_i(x),i=1,2,\cdots,m Gi(x),i=1,2,⋯,m是凸函数,那么其对应的水平集 L i ; 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , m \mathcal L_{i;0},i=1,2,\cdots,m Li;0,i=1,2,⋯,m必然是凸集。而 m m m个不等式约束对应的结果是 m m m个水平集的交集,而该交集必然也是凸集。
关于
凸集的交集也是凸集同样见上述链接
几种保持函数凸性的运算。
同样,观察等式约束函数 H j ( x ) , j = 1 , 2 , ⋯ , l \mathcal H_j(x),j=1,2,\cdots,l Hj(x),j=1,2,⋯,l,如果它们是线性函数:
H j ( x ) : A j T x + b j = 0 j = 1 , 2 , ⋯ , l \mathcal H_j(x):\mathcal A_j^T x + b_j = 0 \quad j=1,2,\cdots,l Hj(x):AjTx+bj=0j=1,2,⋯,l
而线性函数同样是凸函数,因而等式约束函数描述的集合同样也是凸集。从而在上述两类约束条件下的可行域 S \mathcal S S也必然是凸集。根据凸集的简单认识中介绍的:凸优化问题与凸集合凸函数的关系中的两个条件:
满足条件的最优化问题才属于凸优化问题。
相反,如果目标函数 f ˉ ( x ) \bar{f}(x) fˉ(x)描述为: max f ˉ ( x ) \max \bar{f}(x) maxfˉ(x),想要将其转化为凸优化问题,我们需要判定: f ˉ ( x ) \bar{f}(x) fˉ(x)是否为凹函数。如果 f ˉ ( x ) \bar{f}(x) fˉ(x)是凹函数,可以将其转化为相应凸函数的优化问题:
关于
凹函数,同样见
凸函数:定义与基本性质。
max f ˉ ( x ) ⇔ min − f ˉ ( x ) \max \bar{f}(x) \Leftrightarrow \min - \bar{f}(x) maxfˉ(x)⇔min−fˉ(x)
观察:下面的最优化问题是否为凸优化问题 ? ? ?
{ min f ( x ) = x 1 2 + x 2 2 s.t. { G ( x ) = x 1 1 + x 2 2 ≤ 0 H ( x ) = ( x 1 + x 2 ) 2 = 0 \begin{cases} \min f(x) = x_1^2 + x_2^2 \\ \text{s.t. } \begin{cases} \begin{aligned} \mathcal G(x) & = \frac{x_1}{1 + x_2^2} \leq 0 \\ \mathcal H(x) & = (x_1 + x_2)^2 = 0 \end{aligned} \end{cases} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧minf(x)=x12+x22s.t. ⎩ ⎨ ⎧G(x)H(x)=1+x22x1≤0=(x1+x2)2=0
该函数对应
决策变量 x x x的 Hessian Matrix ⇒ ∇ 2 f ( x ) \text{Hessian Matrix} \Rightarrow \nabla^2 f(x) Hessian Matrix⇒∇2f(x)是固定结果:
( 2 0 0 2 ) \begin{pmatrix}2 \quad 0 \\ 0 \quad 2\end{pmatrix} (2002),它是一个
正定矩阵(凸函数的二阶条件)。由于分母
1 + x 2 2 > 0 1 +x_2^2 > 0 1+x22>0恒成立,因此只需要观察分子的符号即可。
关于约束条件,可能并不是上来直接用,能够化简的部分需要进行化简。
在凸集的简单认识中,介绍了凸优化相关的两个优秀性质:
关于局部最优解 x ˉ \bar{x} xˉ的定义表示为:
f ( x ˉ ) ≤ f ( x ) ∀ ∈ S ∩ N ϵ ( x ˉ ) f(\bar{x}) \leq f(x) \quad \forall \in \mathcal S \cap \mathcal N_{\epsilon}(\bar {x}) f(xˉ)≤f(x)∀∈S∩Nϵ(xˉ)
其中 N ϵ ( x ˉ ) \mathcal N_{\epsilon}(\bar{x}) Nϵ(xˉ)表示包含 x ˉ \bar{x} xˉ的小的邻域范围。也就是说:仅在较小的邻域范围 S ∩ N ϵ ( x ˉ ) \mathcal S \cap \mathcal N_{\epsilon}(\bar{x}) S∩Nϵ(xˉ)内,某可行解 x ˉ \bar{x} xˉ的目标函数值 ≤ \leq ≤所有目标函数值,称可行解 x ˉ \bar{x} xˉ为局部最优解;
相反,关于全局最优解 x ∗ x^* x∗的定义表示为:
f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) ∀ x ∈ S f(x^*) \leq f(x) \quad \forall x \in \mathcal S f(x∗)≤f(x)∀x∈S
也就是说:在整个可行域 S \mathcal S S范围内,某可行解 x ∗ x^* x∗的目标函数值 ≤ \leq ≤所有目标函数值。称可行解 x ∗ x^* x∗为全局最优解。
回到凸优化问题上:如果在 S \mathcal S S中找到某一个局部最优解,那么该解一定也是全局最优解。
(反证法)证明:
如果不存在,这个局部解就是全局解~
可以将
x ˉ + λ ⋅ ( x ∗ − x ˉ ) = ( 1 − λ ) ⋅ x ˉ + λ ⋅ x ∗ \bar{x} + \lambda \cdot (x^* - \bar{x}) = (1 - \lambda) \cdot \bar{x} + \lambda \cdot x^* xˉ+λ⋅(x∗−xˉ)=(1−λ)⋅xˉ+λ⋅x∗重新组合,可看作点
x ˉ , x ∗ \bar{x},x^* xˉ,x∗的
凸组合。将上面的
f ( x ∗ ) < f ( x ˉ ) f(x^*) 代入。
什么样的解是凸优化问题的最优解 ? ? ?关于最优解有如下充要条件:
x ∗ ∈ S is Optimal ⇔ [ ∇ f ( x ∗ ) ] T ( x − x ∗ ) ≥ 0 ∀ x ∈ S x^* \in \mathcal S \text{ is Optimal } \Leftrightarrow [\nabla f(x^*)]^T (x - x^*) \geq 0 \quad \forall x \in \mathcal S x∗∈S is Optimal ⇔[∇f(x∗)]T(x−x∗)≥0∀x∈S
为什么满足该充要条件就一定是最优解 ? ? ?证明如下:
充分性:已知某解 x ∗ x^* x∗满足 [ ∇ f ( x ∗ ) ] T ( x − x ∗ ) ≥ 0 , ∀ x ∈ S [\nabla f(x^*)]^T(x - x^*) \geq 0,\forall x \in \mathcal S [∇f(x∗)]T(x−x∗)≥0,∀x∈S。
观察 f ( x ) f(x) f(x)与 f ( x ∗ ) + [ ∇ f ( x ∗ ) ] T ( x − x ∗ ) , ∀ x ∈ S f(x^*) + [\nabla f(x^*)]^T(x - x^*),\forall x \in \mathcal S f(x∗)+[∇f(x∗)]T(x−x∗),∀x∈S两者之间的大小关系。必然有:
其中不等式右侧描述:过
[ x ∗ , f ( x ∗ ) ] [x^*,f(x^*)] [x∗,f(x∗)]点并与
凸函数 f ( ⋅ ) f(\cdot) f(⋅)相切的直线。根据
凸函数的定义,函数图像必然全部在切线上方。
又根据上述条件,必然有:
f ( x ∗ ) + [ ∇ f ( x ∗ ) ] T ( x − x ∗ ) ≥ f ( x ∗ ) f(x^*) + [\nabla f(x^*)]^T(x - x^*) \geq f(x^*) f(x∗)+[∇f(x∗)]T(x−x∗)≥f(x∗)。f ( x ) ≥ f ( x ∗ ) + [ ∇ f ( x ∗ ) ] T ( x − x ∗ ) ≥ f ( x ∗ ) f(x) \geq f(x^*) + [\nabla f(x^*)]^T (x - x^*) \geq f(x^*) f(x)≥f(x∗)+[∇f(x∗)]T(x−x∗)≥f(x∗)
总上,对于 x ∈ S x \in \mathcal S x∈S,都有上述式子 f ( x ) ≥ f ( x ∗ ) f(x) \geq f(x^*) f(x)≥f(x∗)成立,因而 x ∗ x^* x∗是全局最优解。
必要性:已知某解 x ∗ x^* x∗是全局最优解。(反证法)证明:
其中
O ( ⋅ ) \mathcal O(\cdot) O(⋅)表示高阶无穷小。
关于高阶无穷小:
O ( λ ⋅ ∣ ∣ x ˉ − x ∗ ∣ ∣ ) λ \begin{aligned}\frac{\mathcal O(\lambda \cdot ||\bar{x} - x^*||)}{\lambda}\end{aligned} λO(λ⋅∣∣xˉ−x∗∣∣)在
λ ⇒ 0 \lambda \Rightarrow 0 λ⇒0时,分子趋于
0 0 0的速度更快。因而
lim λ ⇒ 0 O ( λ ⋅ ∣ ∣ x ˉ − x ∗ ∣ ∣ ) λ = 0 \begin{aligned}\mathop{\lim}\limits_{\lambda \Rightarrow 0} \frac{\mathcal O(\lambda \cdot ||\bar{x} - x^*||)}{\lambda} = 0\end{aligned} λ⇒0limλO(λ⋅∣∣xˉ−x∗∣∣)=0。关于凸优化问题最优性条件的几何解释
对上述最优性条件变换成如下形式:
x ∗ ∈ S is Optimal ⇔ − [ ∇ f ( x ∗ ) ] T x ∗ ≥ − [ ∇ f ( x ∗ ) ] T x ∀ x ∈ S x^* \in \mathcal S \text{ is Optimal } \Leftrightarrow - [\nabla f(x^*)]^T x^* \geq - [\nabla f(x^*)]^T x \quad \forall x \in \mathcal S x∗∈S is Optimal ⇔−[∇f(x∗)]Tx∗≥−[∇f(x∗)]Tx∀x∈S
根据凸集的支撑超平面定理,如果 − [ ∇ f ( x ∗ ) ] ≠ 0 -[\nabla f(x^*)] \neq 0 −[∇f(x∗)]=0,则可以找到以 x ∗ x^* x∗为边界点,并垂直于向量 − [ ∇ f ( x ∗ ) ] -[\nabla f(x^*)] −[∇f(x∗)]的超平面,使该超平面支撑凸集 S \mathcal S S。而 − [ ∇ f ( x ∗ ) ] -[\nabla f(x^*)] −[∇f(x∗)]作为负梯度方向,必然有: ∀ x ∈ S , s.t. − [ ∇ f ( x ∗ ) ] ( x − x ∗ ) ≤ 0 \forall x \in \mathcal S,\text{ s.t. }-[\nabla f(x^*)](x - x^*) \leq 0 ∀x∈S, s.t. −[∇f(x∗)](x−x∗)≤0。对应图像表示如下:
其中
支撑超平面定理是凸集的自身性质。
也就是说:向量
− [ ∇ f ( x ∗ ) ] -[\nabla f(x^*)] −[∇f(x∗)]与向量
x − x ∗ x -x^* x−x∗之间的夹角
≥ 9 0 。 \geq 90^。 ≥90。恒成立。
个人深度思考:上述最优性条件成立建立在 − [ ∇ f ( x ∗ ) ] ≠ 0 -[\nabla f(x^*)] \neq 0 −[∇f(x∗)]=0的情况下,如果 − [ ∇ f ( x ∗ ) ] = 0 - [\nabla f(x^*)] =0 −[∇f(x∗)]=0时,有: ∀ x ∈ S , [ ∇ f ( x ∗ ) ] T ( x − x ∗ ) ≥ 0 \forall x \in \mathcal S,[\nabla f(x^*)]^T (x - x^*) \geq 0 ∀x∈S,[∇f(x∗)]T(x−x∗)≥0恒成立。也就是说:在凸集中的任意一点,都可以满足该条件。在迭代寻找最优解的过程中,如果 − [ ∇ f ( x ∗ ) ] = 0 -[\nabla f(x^*)] = 0 −[∇f(x∗)]=0,可能会选择错误的方向。
什么时候会出现这种情况:梯度消失的时候。也就是说:如果出现梯度消失的情况下,在迭代寻找最优解的过程中,可能会选择错误的方向。最终找到的最优解可能并不是凸集的某个边界点,而是某个内点。
当然,如果选择的点是内点并且目标函数结果又返回至较大的情况,此时的梯度又存在了,会继续重新收敛至最优解。这里只是描述出现的这种反弹现象。
无约束凸优化问题:在目标函数 f ( ⋅ ) f(\cdot) f(⋅)是凸函数的条件下, x ∈ R n x \in \mathbb R^n x∈Rn,关于 min f ( x ) \min f(x) minf(x)的最优性条件表示如下:
x ∗ is Optimal ⇔ ∇ f ( x ∗ ) = 0 x^* \text{ is Optimal } \Leftrightarrow \nabla f(x^*) = 0 x∗ is Optimal ⇔∇f(x∗)=0
如果将该问题带入凸优化问题最优性条件中,可以得到:
x ∗ is Optimal ⇔ [ ∇ f ( x ∗ ) ] T ( x − x ∗ ) ≥ 0 , ∀ x ∈ R n ⇔ ∇ f ( x ∗ ) = 0 x^* \text{ is Optimal } \Leftrightarrow [\nabla f(x^*)]^T(x - x^*) \geq 0,\forall x \in \mathbb R^n \Leftrightarrow \nabla f(x^*) = 0 x∗ is Optimal ⇔[∇f(x∗)]T(x−x∗)≥0,∀x∈Rn⇔∇f(x∗)=0
可以理解为: ∀ x ∈ R n \forall x \in \mathbb R^n ∀x∈Rn构成的向量 x − x ∗ x - x^* x−x∗均满足 [ ∇ f ( x ∗ ) ] T ( x − x ∗ ) ≥ 0 [\nabla f(x^*)]^T(x - x^*) \geq 0 [∇f(x∗)]T(x−x∗)≥0,那只有一种情况: ∇ f ( x ) \nabla f(x) ∇f(x)是零向量。
这里需要与上面描述的
梯度消失的情况区分一下。上述的最优性条件必须满足
可行域 S \mathcal S S是凸集。如果在
S \mathcal S S是凸集情况下,
∇ f ( x ∗ ) = 0 \nabla f(x^*) =0 ∇f(x∗)=0会导致
无法找到 x ∗ x^* x∗位置下关于凸集 S \mathcal S S的支撑超平面;相反,在无约束凸优化问题中,对
可行域 S \mathcal S S没有约束。
等式约束的凸优化问题:在目标函数 f ( ⋅ ) f(\cdot) f(⋅)是凸函数的条件下,关于 min { f ( x ) ∣ A x = b } \min \{f(x) \mid \mathcal A x = b\} min{f(x)∣Ax=b}的最优性条件表示如下:
关于凸优化问题的
等式约束函数是线性函数。
x ∗ is Optimal ⇔ ∃ μ , s.t. ∇ f ( x ∗ ) + A T μ = 0 , A x ∗ = 0 x^* \text{ is Optimal } \Leftrightarrow \exist \mu, \text{ s.t. } \nabla f(x^*) + \mathcal A^T \mu = 0,\mathcal A x^* = 0 x∗ is Optimal ⇔∃μ, s.t. ∇f(x∗)+ATμ=0,Ax∗=0
证明:
如果 x ∗ x^* x∗是全局最优解,必然有:
x ∗ is Optimal ⇔ [ ∇ f ( x ∗ ) ] T ( x − x ∗ ) ≥ 0 ∀ x : A x = b , A x ∗ = b x^* \text{ is Optimal } \Leftrightarrow [\nabla f(x^*)]^T(x - x^*) \geq 0 \quad \forall x:\mathcal Ax = b,\mathcal Ax^* = b x∗ is Optimal ⇔[∇f(x∗)]T(x−x∗)≥0∀x:Ax=b,Ax∗=b
根据 A x = A x ∗ = b \mathcal Ax = \mathcal Ax^* = b Ax=Ax∗=b,因而有: A ( x − x ∗ ) = b − b = 0 \mathcal A(x - x^*) = b - b =0 A(x−x∗)=b−b=0。记向量 d = x − x ∗ d = x - x^* d=x−x∗,从而有:
x ∗ is Optimal ⇔ [ ∇ f ( x ∗ ) ] T d ≥ 0 ∀ d : A d = 0 x^* \text{ is Optimal } \Leftrightarrow [\nabla f(x^*)]^T d \geq 0 \quad \forall d:\mathcal Ad = 0 x∗ is Optimal ⇔[∇f(x∗)]Td≥0∀d:Ad=0
很明显, A d = 0 \mathcal Ad =0 Ad=0是一个齐次线性方程组,可以将 d d d描述为: A x = 0 \mathcal Ax = 0 Ax=0解集中的一个解。即: d ∈ N ( A ) d \in \mathcal N(\mathcal A) d∈N(A):
其中
N ( A ) \mathcal N(\mathcal A) N(A)表示系数矩阵
A \mathcal A A的零空间。
x ∗ is Optimal ⇔ [ ∇ f ( x ∗ ) ] T d ≥ 0 ∀ d ∈ N ( A ) x^* \text{ is Optimal } \Leftrightarrow [\nabla f(x^*)]^T d \geq 0 \quad \forall d \in \mathcal N(\mathcal A) x∗ is Optimal ⇔[∇f(x∗)]Td≥0∀d∈N(A)
发现这样一个现象:如果 d ∈ N ( A ) d \in \mathcal N(\mathcal A) d∈N(A)那么 − d ∈ N ( A ) ⇒ − A d = 0 -d \in \mathcal N(\mathcal A) \Rightarrow -\mathcal Ad = 0 −d∈N(A)⇒−Ad=0,将 d , − d d,-d d,−d都带入上式中:
{ [ ∇ f ( x ∗ ) ] T d ≥ 0 [ ∇ f ( x ∗ ) ] T ( − d ) ≥ 0 ⇒ [ ∇ f ( x ∗ ) ] T d ≤ 0 \begin{cases} [\nabla f(x^*)]^Td \geq 0 \\ [\nabla f(x^*)]^T(-d) \geq 0 \Rightarrow [\nabla f(x^*)]^T d \leq 0 \end{cases} {[∇f(x∗)]Td≥0[∇f(x∗)]T(−d)≥0⇒[∇f(x∗)]Td≤0
也就是说:关于 [ ∇ f ( x ∗ ) ] T d [\nabla f(x^*)]^T d [∇f(x∗)]Td在可行域 d ∈ N ( A ) d \in \mathcal N(\mathcal A) d∈N(A)中只能取等:
x ∗ is Optimal ⇔ [ ∇ f ( x ∗ ) ] T d = 0 ∀ d ∈ N ( A ) x^* \text{ is Optimal } \Leftrightarrow [\nabla f(x^*)]^T d = 0 \quad \forall d \in \mathcal N(\mathcal A) x∗ is Optimal ⇔[∇f(x∗)]Td=0∀d∈N(A)
这意味着:向量 ∇ f ( x ∗ ) \nabla f(x^*) ∇f(x∗)与 N ( A ) \mathcal N(\mathcal A) N(A)中的任意解向量 d d d均是垂直关系,即向量 ∇ f ( x ∗ ) \nabla f(x^*) ∇f(x∗)与 N ( A ) \mathcal N(\mathcal A) N(A)垂直:
x ∗ is Optimal ⇔ ∇ f ( x ∗ ) ∈ N ( A ) ⊥ x^* \text{ is Optimal } \Leftrightarrow \nabla f(x^*) \in \mathcal N(\mathcal A)^{\bot} x∗ is Optimal ⇔∇f(x∗)∈N(A)⊥
对应图像表示如下:
其中
[ ∇ f ( x ∗ ) ] T d = ∥ ∇ f ( x ∗ ) ∥ ⋅ ∥ d ∥ ⋅ cos θ = 0 → cos θ = 0 [\nabla f(x^*)]^Td = \|\nabla f(x^*)\| \cdot \|d\| \cdot \cos \theta = 0\rightarrow \cos \theta = 0 [∇f(x∗)]Td=∥∇f(x∗)∥⋅∥d∥⋅cosθ=0→cosθ=0
因而 ∇ f ( x ∗ ) \nabla f(x^*) ∇f(x∗)必然能够表达为系数矩阵 A \mathcal A A行向量的线性组合。对应数学符号表示为:
这实际上就是
KKT \text{KKT} KKT条件在等式约束凸问题的具体化。后续有机会介绍~
x ∗ is Optimal ⇔ ∇ f ( x ∗ ) + A T μ = 0 x^* \text{ is Optimal } \Leftrightarrow \nabla f(x^*) + \mathcal A^T \mu = 0 x∗ is Optimal ⇔∇f(x∗)+ATμ=0
基于非负约束的凸优化问题:在目标函数 f ( ⋅ ) f(\cdot) f(⋅)是凸函数的条件下,关于 min { f ( x ) ∣ x ≥ 0 } \min\{f(x) \mid x \geq 0\} min{f(x)∣x≥0}的最优性条件表示如下:
x ∗ is Optimal ⇔ ∇ f ( x ∗ ) i ⋅ x i ∗ = 0 x ∗ ≥ 0 ; ∇ f ( x ∗ ) ≥ 0 x^* \text{ is Optimal } \Leftrightarrow \nabla f(x^*)_i \cdot x_i^* = 0\quad x^* \geq 0;\nabla f(x^*) \geq 0 x∗ is Optimal ⇔∇f(x∗)i⋅xi∗=0x∗≥0;∇f(x∗)≥0
证明:依然根据凸优化问题的最优性条件,有:
其中
x ∗ x^* x∗作为可行域内的最优解,必然也满足
: x ∗ ≥ 0 x^* \geq 0 x∗≥0
x ∗ is Optimal ⇔ [ ∇ f ( x ∗ ) ] T ( x − x ∗ ) ≥ 0 ∀ x ≥ 0 ; x ∗ ≥ 0 x^* \text{ is Optimal } \Leftrightarrow [\nabla f(x^*)]^T (x - x^*) \geq 0 \quad \forall x \geq 0;x^* \geq 0 x∗ is Optimal ⇔[∇f(x∗)]T(x−x∗)≥0∀x≥0;x∗≥0
将上式展开,整理有:
x ∗ is Optimal ⇔ [ ∇ f ( x ∗ ) ] T x ≥ [ ∇ f ( x ∗ ) ] T x ∗ ∀ x ≥ 0 ; x ∗ ≥ 0 x^* \text{ is Optimal } \Leftrightarrow [\nabla f(x^*)]^T x \geq [\nabla f(x^*)]^T x^* \quad \forall x \geq 0;x^* \geq 0 x∗ is Optimal ⇔[∇f(x∗)]Tx≥[∇f(x∗)]Tx∗∀x≥0;x∗≥0
观察上式: ∀ x ≥ 0 \forall x \geq 0 ∀x≥0,并满足: [ ∇ f ( x ∗ ) ] T x ≥ [ ∇ f ( x ∗ ) ] T x ∗ [\nabla f(x^*)]^T x \geq [\nabla f(x^*)]^T x^* [∇f(x∗)]Tx≥[∇f(x∗)]Tx∗,必然有:
解释:如果
∇ f ( x ∗ ) \nabla f(x^*) ∇f(x∗)中存在某一个/若干个分量
< 0 <0 <0,在执行线性运算
[ ∇ f ( x ∗ ) ] T x [\nabla f(x^*)]^Tx [∇f(x∗)]Tx时,由于
x x x可在
x ≥ 0 x\geq 0 x≥0范围内
任意取值,假设
x x x中对应上述
∇ f ( x ∗ ) \nabla f(x^*) ∇f(x∗)分量
< 0 <0 <0的分量位置是
+ ∞ +\infty +∞,那么
[ ∇ f ( x ∗ ) ] T x [\nabla f(x^*)]^Tx [∇f(x∗)]Tx的结果必然是
− ∞ -\infty −∞。这是可能发生的结果。但该结果可能不满足
[ ∇ f ( x ∗ ) ] T x ≥ [ ∇ f ( x ∗ ) ] T x ∗ [\nabla f(x^*)]^T x \geq [\nabla f(x^*)]^T x^* [∇f(x∗)]Tx≥[∇f(x∗)]Tx∗。因此:
∇ f ( x ∗ ) ≥ 0 \nabla f(x^*) \geq 0 ∇f(x∗)≥0必须成立。当
x = 0 x = 0 x=0时,必然也满足:
[ ∇ f ( x ∗ ) ] T x ∗ ≤ [ ∇ f ( x ∗ ) ] ⋅ 0 = 0 [\nabla f(x^*)]^Tx^* \leq [\nabla f(x^*)] \cdot 0 = 0 [∇f(x∗)]Tx∗≤[∇f(x∗)]⋅0=0继续观察上式:在 ∇ f ( x ∗ ) , x ∗ ≥ 0 \nabla f(x^*),x^* \geq 0 ∇f(x∗),x∗≥0情况下, [ ∇ f ( x ∗ ) ] T x ∗ ≤ 0 [\nabla f(x^*)]^T x^* \leq 0 [∇f(x∗)]Tx∗≤0。因此只有一种情况:
x ∗ is Optimal ⇔ { ∇ f ( x ∗ ) ≥ 0 ; x ∗ ≥ 0 [ ∇ f ( x ∗ ) ] T x ∗ = 0 x^* \text{ is Optimal } \Leftrightarrow \begin{cases} \nabla f(x^*) \geq 0;x^* \geq 0 \\ [\nabla f(x^*)]^T x^* = 0 \end{cases} x∗ is Optimal ⇔{∇f(x∗)≥0;x∗≥0[∇f(x∗)]Tx∗=0
这意味着:线性运算 [ ∇ f ( x ∗ ) ] T x [\nabla f(x^*)]^T x [∇f(x∗)]Tx过程执行加法运算的每一个分量 ∇ f ( x ∗ ) i ⋅ x i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) \nabla f(x^*)_i \cdot x_i(i=1,2,\cdots,n) ∇f(x∗)i⋅xi(i=1,2,⋯,n)均为 0 0 0。
相反,如果存在某分量乘积结果
∇ f ( x ∗ ) k ⋅ x k ∗ > 0 ( k ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } ) \nabla f(x^*)_k \cdot x_k^*> 0(k \in \{1,2,\cdots,n\}) ∇f(x∗)k⋅xk∗>0(k∈{1,2,⋯,n})最终的
[ ∇ f ( x ∗ ) ] T x [\nabla f(x^*)]^T x [∇f(x∗)]Tx结果必然
> 0 >0 >0,不满足上述条件。
证毕。
Reference \text{Reference} Reference:
最优化理论与方法-第四讲-凸优化问题