【Atcoder】AGC009 B-E简要题解

B.Tournament

连边$a_i\to i$， 构成一颗树。

$i$需要在不同层打败他指向的所有选手。

设$f_x$表示$x$打完所有比赛且为最终的赢家时的子树深度。

递归处理完$x$指向的所有选手$y$后，贪心按$f[y]$降序排序得到序列$q$，从小到大安排到每一层，$f[x]=max(f[q[i]]+i)$。

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C.Division into Two

真的zz，DP都多想了一维…
实际上只需要转移一块一块的整体，并维护集合的不断交替。

考虑$dp$：
设$f[i][0/1]$表示处理到第$i$位，$S_i$划分到了$A/B$集合，且$S_{i+1}$被划分到另一个集合的方案数，转移：
$f[i][0/1]=\sum f[j][1/0]$，$[j+1,i]$之间差值$\ge A/B$，$s_{i+1}-s_j\ge B/A$。

$[j+1,i]$之间差值$\ge A/B$的$j$是一个$i$的后缀，$s_{i+1}-s_j\ge B/A$的$j$是一个后缀。

前缀和+二分优化，时间复杂度$O(n\log n)$

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*D.Uninity

转化一下问题：

类似于点分治，给每个点根据它在点分树中的深度赋值$a_i$，问题转化为：
使两个权值相等的点的路径上有一个点的权值大于它们的权值，最小化最大的权值。

答案上界即点分树的深度即$\log n$。

那么可以直接存下每个点下面每个权值的访问次数，然后选贪心取最小的使子树合法的权值。

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*E.Eternal Average

需要发现性质的神仙DP：

把问题转成满$K$叉树，叶子节点中$n$个值为$0$，$m$个值为$1$，非叶结点的值为它的$K$个儿子值的平均数。

设$n$个$0$叶子深度为$x_i$，$m$个$1$叶子深度为$y_i$，根结点值即$\sum (\frac{1}{k}{)}^{y_i}$。且$\sum (\frac{1}{k}{)}^{y_i}+\sum (\frac{1}{k}{)}^{x_i}=1$(考虑叶子全为$1$的情况)

问题转化成了求有多少个数$z$可以表示成$\sum (\frac{1}{k}{)}^{y_i}$，且$1-z$可以表示成$\sum (\frac{1}{k}{)}^{x_i}$。

构造$z$：

对于$k$进制小数$z=0.c_1{c}_2...$(先忽略进位)，$\sum c=m$，转换成进位前$c_i-1$，$c_{i+1}+k$，所以$\sum c\equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k-1)$。则$z$满足以下性质(设构造的$z$小数位长度为$l$)：

• $0\le c_i<k(1\le i\le l),c_l>0$
• $\sum c\le m$且$\sum c\equiv m(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k-1)$
• $l(k-1)+1-\sum c\le n$且$l(k-1)+1-\sum c\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k-1)$

$dp[i][j][0/1]$表示长度为$i$，$\sum c=j$，且末位是否为0的方案数。