《从一到无穷大》笔记

我觉得很有必要找个高中数学课程，重新把数字捡起来。

数字游戏

—— 大数字

无穷数的增长速度极快，很快就会超越任何我们能想到的集合。我们知道，ℵ₀代表所有整数的数量，ℵ₁代表所有几何点的数量，ℵ₂代表曲线的所有种类，但截至目前，还没有任何人能找到可以记作ℵ₃的集合。看来前三个无穷数足以穷尽我们能想到的一切事物。

—— 自然数字和人造数字

最纯粹的数学：“数论”（这里的“数”指的是整数），它是最古老、最复杂的理论数学思想之一。

质数

“哥德巴赫猜想”（Goldbach conjecture）：任何一个（大于2的）偶数都能表示为两个质数之和。同时牵涉到1是否为质数的问题。

神秘的√-1：i

虚数：负数的平方根

利用−1的平方根这个虚数，我们习以为常的三维空间竟能和时间结合起来，形成一个符合四维几何学的统一坐标系。（现对论）

时间、空间和爱因斯坦

—— 宇宙的奇异特性

维度和坐标

不用度量的几何学

翻转空间

莫比乌斯面

—— 四维世界

时间是第四个维度：用四维时空几何学的术语来说，代表每个独立的物质粒子的生命史的线被称为“世界线”。同样地，组成复合物体的一束世界线被称为“世界带”。

时空等价：真空光速

四维距离：空间距离永远是实数，而时间距离永远是纯虚数，那么或许可以说，实数的四维距离与普通空间距离的关系更为密切，而虚数四维距离与时间间隔的联系更紧密。用闵可夫斯基的术语来说，第一种四维距离叫作“类空距离”（spatial），第二种则是“类时距离”（temporal）。

—— 空间和时间的相对性

时空互变：四维几何学认为空间和时间只是恒定不变的四维距离在对应轴上的投影，因此，某位观察者认为两个事件同时发生，但另一位观察者可能认为二者之间有一定的时间间隔。

以太风和天狼星之旅

现代物理学认为，“以太”（剔除所谓的力学性质以后）和“物理空间”这两个词说的其实是一回事。

任何物体的运动速度都不可能达到或者超过光速。

弯曲的空间和引力之谜

爱因斯坦提出的弯曲空间广义理论中包含了一个假设：大质量物体附近的物理空间会变得弯曲；质量越大，空间曲率也越大。

引力现象只不过是四维时空世界的弯曲产生的效应。

封闭空间和开放空间

微观世界

—— 下降的阶梯

希腊人的观点

分析物体特性时，最好的办法是从我们熟悉的“正常尺寸”的物体入手，然后一步步深入其内部结构，探寻人类肉眼看不到的所有物质特性的终极起源。

原子有多大？

“原子的尺寸到底是几厘米，重量是几克，一定量的物质中有多少个原子或分子？我们能不能想出办法来观察、计数、操控单个的原子和分子？”

分子束

由紧挨在一起穿过空间的大量独立分子组成。

原子摄影

根据阿贝的理论，显微镜的运作原理可以拆成几步：1.将原始照片分解成大量独立的暗纹图像；2.分别放大每一幅独立图像；3.重新将所有图像叠加起来，得到放大后的照片。

解剖原子

是什么样的力将不同元素的原子结合在一起，形成各种各样的复杂化合物分子？

微观力学与不确定性原理

2021.04.04