基于C++的完全背包问题

• 完全背包问题

题目

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件…… V/c[i]件。如果仍然按照解01背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

这跟01背包问题一样有O(N*V)个状态需要求解，但求解每个状态的时间已经不是常数了，求解状态f[i][v]的时间是O(v/c[i])，总的复杂度是超过O(VN)的。

将01背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图改进这个复杂度。

//基本算法,已运行检验过。
#include
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using namespace std;
int completeKnapsak(vector&w,vector&c, int&volume){  
   vectordp(volume+1,0);  
   for(int i=0;i=0;v--)//为什么逆序前面已经讲过。
     {      
          for(int k=0;k*c[i]<=v;k++)      
        {        
          dp[v]=max(dp[v],dp[v-k*c[i]]+k*w[i]);     
         }    
      }  
    }  
   return dp[volume];
  } 
 int main(){  
       int a[]={7,5,8,6,4,2,9};  
       vectorw(a,a+sizeof(a)/sizeof(int));  
       int b[]={2,1,5,3,7,4,8};  
        vectorc(b,b+sizeof(b)/sizeof(int));  
        int volume=15;  
        cout<

一个简单有效的优化

完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]（即i代价小而收益大），则将物品j去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。

这个优化可以简单的O(N^2)地实现，一般都可以承受。另外，针对背包问题而言，比较不错的一种方法是：首先将费用大于V的物品去掉，然后使用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可以O(V+N)地完成这个优化。

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