辛普森近似求值

公式证明

任意一个对称区间的一元二次函数定积分

∫ α β a x 2 + b x + c = a 3 x 3 + b 2 x 2 + c x ∣ α β = a 3 β 3 + b 2 β 2 + c β − ( a 3 α 3 + b 2 α 2 + c α ) = a 3 ( β 3 − α 3 ) + b 2 ( β 2 − α 2 ) + c ( β − α ) = β − α 6 [ 2 a ( β 2 + α β + α 2 ) + 3 b ( β + α ) + 6 c ] = β − α 6 [ ( a α 2 + b α + c ) + ( a α 2 + 2 a α β + a β 2 + 2 b α + 2 b β + 4 c ) + ( a β 2 + b β + c ) ] = β − α 6 [ y ( α ) + 4 y ( α + β 2 ) + y ( β ) ] = β − α 6 ( y 0 + 4 y 1 + y 2 ) \LARGE \begin{aligned} \int_{\alpha}^{\beta}ax^2+bx+c&=\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx\Bigg|_{\alpha}^{\beta} \\ &=\frac{a}{3}\beta^3+\frac{b}{2}\beta^2+c\beta -(\frac{a}{3}\alpha^3+\frac{b}{2}\alpha^2+c\alpha )\\ &=\frac{a}{3}(\beta^3-\alpha^3)+\frac{b}{2}(\beta^2-\alpha^2)+c(\beta-\alpha) \\ &=\frac{\beta-\alpha}{6}\left[{2a}(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)+{3b}(\beta+\alpha)+6c\right] \\ &=\frac{\beta-\alpha}{6}\left[(a\alpha^2+b\alpha+c)+(a\alpha^2+2a\alpha\beta+a\beta^2+2b\alpha+2b\beta+4c)+(a\beta^2+b\beta+c)\right] \\ &=\frac{\beta-\alpha}{6}\left[y(\alpha)+4y(\frac{\alpha+\beta}{2})+y(\beta)\right] \\ &=\frac{\beta-\alpha}{6}\left(y_0+4y_1+y_2\right) \end{aligned} ∫αβ​ax2+bx+c​=3a​x3+2b​x2+cx ​αβ​=3a​β3+2b​β2+cβ−(3a​α3+2b​α2+cα)=3a​(β3−α3)+2b​(β2−α2)+c(β−α)=6β−α​[2a(β2+αβ+α2)+3b(β+α)+6c]=6β−α​[(aα2+bα+c)+(aα2+2aαβ+aβ2+2bα+2bβ+4c)+(aβ2+bβ+c)]=6β−α​ ​y(α)+4y(2α+β​)+y(β) ​=6β−α​(y0​+4y1​+y2​)​

拆分

辛普森要求拆分为偶数项，我们拟合一次抛物线近似会占用两个微元面积，如果我们把区间$(a,b)$拆分为n份，那么2份就是:
$\frac{2(b-a)}{n}=\beta -\alpha$

求和

主要利用定积分的累加性,拆分为n份，自变量从$x_0\sim x_n$,每次拟合的函数都不同，只不过我们每次取三个点模拟二次函数

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^b\psi (x)dx& \approx {\int }_{x_0}^{x_2}{f}_1(x)dx+{\int }_{x_2}^{x_4}{f}_2(x)dx+\cdots +{\int }_{x_{n-2}}^{x_n}{f}_{\frac{n}{2}}(x)dx\\ & \\ & =\frac{b-a}{3n}\left[(y_0+4y_1+y_2)+(y_2+4y_3+y_4)+\cdots +(y_{n-2}+4y_{n-1}+y_n)\right]\end{array}$$

总结 : 如果我们把六分之一乘进去

∫ a b ψ ( x ) d x ≈ ∫ x 0 x 2 f 1 ( x ) d x + ∫ x 2 x 4 f 2 ( x ) d x + ⋯ + ∫ x n − 2 x n f n 2 ( x ) d x = 2 ( b − a ) n [ ( y 0 + 4 y 1 + y 2 ) 6 + ( y 2 + 4 y 3 + y 4 ) 6 + ⋯ + ( y n − 2 + 4 y n − 1 + y n ) 6 ] \LARGE \begin{aligned} \int_a^b\psi(x)dx &\approx \int_{x_0}^{x_2}f_{1}(x)dx+\int_{x_2}^{x_4}f_{2}(x)dx+\cdots+\int_{x_{n-2}}^{x_n}f_{\frac{n}{2}}(x)dx\\\\ &=\frac{2(b-a)}{n}\left[\frac{(y_0+4y_1+y_2)}{6}+\frac{(y_2+4y_3+y_4)}{6}+\cdots+\frac{(y_{n-2}+4y_{n-1}+y_n)}{6}\right] \end{aligned} ∫ab​ψ(x)dx​≈∫x0​x2​​f1​(x)dx+∫x2​x4​​f2​(x)dx+⋯+∫xn−2​xn​​f2n​​(x)dx=n2(b−a)​ ​6(y0​+4y1​+y2​)​+6(y2​+4y3​+y4​)​+⋯+6(yn−2​+4yn−1​+yn​)​ ​​

我们只不过在指定的区间采集数据六个求平均，乘以采集数据区间的微元宽度（历史上不少的手稿用h，翻译为微元高度），之后求和

除了首尾项，奇数项权重为4，偶数项权重为2

1. (2*CLOSE+HIGH+LOW+OPEN)/5， 这是股市中收盘价权重为2，最高价，最低价，开盘价 权重都是1，我们采集了五次。如果微元宽度是天数，将会是累积多空双方的一次很好应用。
2. 辛普森法的启示在于采集数据的规律是 14242…41。