Day 42 动态规划part04 ： 01背包问题，你该了解这些！ 01背包问题，你该了解这些！ 滚动数组 416. 分割等和子集

动态规划：01背包理论基础

动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是解决优化问题的一种常用策略，其中“背包问题”是动态规划中最经典的问题之一。作为入门，以下几点是你需要了解的：

基本概念

1. 问题模型：通常，背包问题是关于如何选择物品以满足某些约束（如重量限制）同时最大化或最小化某个值（如总价值）的问题。

2. 状态：DP问题通常涉及“状态”的概念，每个状态对应一个或多个变量的特定取值，表示问题的某种中间情况。

3. 状态转移方程：解决DP问题的核心是找出状态如何从一个转移到另一个的规则。这通常表达为一个或多个方程或递归关系。

4. 边界条件：你需要明确状态转移方程的边界条件，也就是初始状态和结束状态。

5. 子问题的重叠性：DP适用于那些具有“重叠子问题”的问题，即同一个子问题在解决整个问题的过程中会被多次解决。

背包问题的类型

1. 0-1背包问题：每种物品只有一个，并且可以选择放入或不放入背包。
2. 完全背包问题：每种物品有无限多个。
3. 多重背包问题：每种物品有有限的个数。
4. 分组背包问题：物品被分成几个组，并且必须从每一组中选择一些物品。
5. 其它变种：还有诸如二维背包、多维背包、混合三种背包、物品之间有依赖关系的背包问题等。

常用算法和优化

1. 递归和记忆化：最简单的实现方式，但通常效率较低。
2. 自底向上的DP：这种方式通常更加高效，是将问题分解成更小的子问题，然后从最小的子问题开始，逐步求解更大的子问题。
3. 空间优化：在某些情况下，DP数组的空间可以优化。

常用代码模板

最基础的背包问题通常可以用一维或二维的DP数组来解决，有标准的代码模板。比如对于0-1背包问题，一种基础的DP解法代码模板如下：

def zeroOneKnapsack(weights, values, capacity):
    n = len(weights)
    dp = [0] * (capacity + 1)

    for i in range(1, n + 1):
        for w in range(capacity, 0, -1):
            if w >= weights[i-1]:
                dp[w] = max(dp[w], dp[w - weights[i-1]] + values[i-1])
                
    return dp[capacity]

以上内容应该为你提供一个不错的入门点。一旦你掌握了这些基础概念和技术，你就可以更容易地理解和解决更复杂的背包问题和其他动态规划问题了。