第一章 函数，极限和连续

一、函数

函数基本特性：

（1）奇偶性：偶：f(-x) = f(x);奇：f(-x) = -f(-x)

（2）周期性：f(X+T) = f(X)

（3）有界性

（4）单调性

二、极限

考点1：无穷大与无穷小

（1），称β为α的高阶无穷小；

（2），称α为β为同阶无穷小；

（3），称α为β为等价无穷小。

考点2：极限性质

（1）唯一性：极限存在必唯一；

（2）有界性

（3）保号性：第一保号性： ，则存在>0，当时，有 f(x) > 0;

         第二保号性： ，且  ,则A0。

（4）列与子列极限的关系：存在的充分必要条件是与都存在且相等

考点3：极限存在性质及其方法

（1）数列极限：,与存在且相等，则存在，

（2）函数极限：,与存在且相等，则存在，

（3）方法：1.重要不等式：;

                                            ;

                                                             

                    2.数学归纳法；

                    3.单调法（导数单调法）；

                    4.中值定理；

考点4：极限运算性质

（1）两个极限其中一个不存在，则四则运算都不存在

（2）两个极限都不存在，四则运算可能存在

考点5：求极限中的技巧

（1）

（2）

（3）  ,

（4） ，

            ，

          ，

（5）和不存在

三、函数的连续性

考点1：间断点的分类

（1）可去间断点： ；左右极限存在且相等

（2）跳跃间断点： ；左右极限存在但不相等

考点2：闭区间上连续函数的性质

  以下定理均在条件下成立

（1）最值定理：f(x)在[a,b]上取得最小值m和最大值M。

（2）有界定理：f(x)在[a,b]上有界。

（3）零点定理：f(a)f(b)<0，则存在,使得。

（4）介值定理：m和M为f(x)的最小值和最大值，则存在,,使得。