【笔记】概统论与数理统计第五章知识点总结

5.1 正态分布及其密度函数和分布函数

正态分布是自然界中最常见的分布，很多特征都服从正态分布，背后的原理是中心极限定理

1. 标准正态分布X~N(0, 1)

• 随机变量X的概率密度函数φ(x)
• 随机变量x的分布函数()

  • 性质（偶函数）

    • 
    • 

2. 一般正态分布~(, )

• 

• X的分布函数

  

  

• 正态分布的密度函数

  

  • ​关于 x = µ 对称

  • 曲线顶点为
  • 曲线以 x 轴为渐进线, 且在 x = µ ± σ 处有拐点
  • µ：位置参数，σ 不变，µ 改变，则曲线形态不变，整体平移
  • σ：刻度参数：µ 不变，σ 改变，曲线形态改变, 越小, 曲线越高瘦。

5.2 正态分布的数字特征与线性性质

• 正态分布的数字特征： 设随机变量 X ∼ N(µ, ), 则 E(X) = µ, D(X) =
• 正态分布的线性性质：设 X ∼ N(µ, ), 当 b = 0 时, 有 Y = a + bX ∼ N(a + bµ, ).
• 正态分布的可加性（可推广）

5.3 二维正态分布

• 二维正态分布(X, Y) ∼ N(, ; , ; r)
• 二维密度函数

  

  • |r| < 1，r=R(X, Y) 是X，Y的相关系数

• 二维正态分布的边缘分布

  

• 二维正态分布的独立性：设 (X, Y) ∼N(, ; , ; r)，则 X 与 Y 相互独立的充要条件为相关系数 r = 0

• 二维正态分布的条件分布仍然是正态分布：X1 和 X2 独立, 并且都服从一维的标准正态分布

• 二维标准正态分布：N(0, 0; 1, 1; 0)

• 正态分布的判别方法：二维随机变量 (X, Y) 服从二维正态分布的充要条件是 X 和 Y 的任意非零线性组合 Z = aX + bY 服从一维正态分布, 即 Z ∼ N(E(Z), D(Z))

• 正态分布的线性性质：假设 (X, Y) 是二维正态分布的随机变量，那么，设 U = aX + bY, V = cX + dY。则(U, V) 也服从二维正态分布