【算法】最小生成树之Kruskal算法

给定一个无向图，如果它任意两个顶点都联通并且是一棵树，那么我们就称之为生成树(Spanning Tree)。如果是带权值的无向图，那么权值之和最小的生成树，我们就称之为最小生成树(MST, Minimum Spanning Tree)。

我们由最小生成树的定义，可以延伸出一个修建道路的问题：把无向图的每个顶点看作村庄，计划修建道路使得可以在所有村庄之间通行。把每个村庄之间修建道路的费用看作权值，那么我们就可以得到一个求解修建道路的最小费用的问题。

常见求解最小生成树的算法有Kruskal算法和Prim算法。由于篇幅问题再此对于Prim算法，就不多做解释了。现在我们看看Kruskal算法，是怎么来求解最小生成树的问题。

1 Kruskal 算法描述

Kruskal算法是基于贪心的思想得到的。首先我们把所有的边按照权值先从小到大排列，接着按照顺序选取每条边，如果这条边的两个端点不属于同一集合，那么就将它们合并，直到所有的点都属于同一个集合为止。至于怎么合并到一个集合，那么这里我们就可以用到一个工具 —— 并查集(不知道的同学请移步：Here)。换而言之，Kruskal算法就是基于并查集的贪心算法。

2 Kruskal算法流程

输入： 图G
输出： 图G的最小生成树
具体流程：
(1) 将图G看做一个森林，每个顶点为一棵独立的树
(2) 将所有的边加入集合S，即一开始S = E
(3) 从S中拿出一条最短的边(u,v)，如果(u,v)不在同一棵树内，则连接u,v合并这两棵树，同时将(u,v)加入生成树的边集E’
(4) 重复(3)直到所有点属于同一棵树，边集E’就是一棵最小生成树

我们用现在来模拟一下Kruskal算法，下面给出一个无向图B, 我们使用Kruskal来找无向图B的最小生成树。

首先，我们将所有的边都进行从小到大的排序。排序之后根据贪心准则，我们选取最小边(A, D)。我们发现顶点A,D不在一棵树上，所以合并顶点A,D所在的树，并将边(A,D)加入边集E‘。

我们接着在剩下的边中查找权值最小的边，于是我们找到的(C,E)。我们可以发现，顶点C,E仍然不在一棵树上，所以我们合并顶点C，E所在的树，并将边(C,E)加入边集E’

不断重复上述的过程，于是我们就找到了无向图B的最小生成树，如下图所示：

3 Kruskal算法的时间复杂度

Kruskal 算法每次要从都要从剩余的边中选取一个最小的边。通常我们要先对边按权值从小到大排序，这一步的时间复杂度为为O(|Elog|E|)。Kruskal算法的实现通常使用并查集，来快速判断两个顶点是否属于同一个集合。最坏的情况可能要枚举完所有的边，此时要循环|E|次，所以这一步的时间复杂度为O(|E|α(V))，其中α为Ackermann函数，其增长非常慢，我们可以视为常数。所以Kruskal算法的时间复杂度为O(|Elog|E|)。

4 实战演练

我们现在已经基本了解了Kruskal算法，让我们来一道题目练练手：畅通工程。这是一道非常基本的最小生成树的应用，所以我就不做详细说明了，这里仅附上代码以供参考：

#include 
#include 
#define MAXN 10000 + 10
using namespace std;
 
int par[MAXN], Rank[MAXN];
typedef struct{
    int a, b, price;
}Node;
Node a[MAXN];
 
int cmp(const void*a, const void *b){
    return ((Node*)a)->price - ((Node*)b)->price;
}
void Init(int n){
    for(int i = 0; i < n; i++){
        Rank[i] = 0;
        par[i] = i;
    }
}
 
int find(int x){
    int root = x;
    while(root != par[root]) root = par[root];
    while(x != root){
        int t = par[x];
        par[x] = root;
        x = t;
    }
    return root;
}
 
void unite(int x, int y){
    x = find(x);
    y = find(y);
    if(Rank[x] < Rank[y]){
        par[x] = y;
    }
    else{
        par[y] = x;
        if(Rank[x] == Rank[y]) Rank[x]++;
    }
}
//n为边的数量，m为村庄的数量
int Kruskal(int n, int m){
    int nEdge = 0, res = 0;
    //将边按照权值从小到大排序
    qsort(a, n, sizeof(a[0]), cmp);
    for(int i = 0; i < n && nEdge != m - 1; i++){
        //判断当前这条边的两个端点是否属于同一棵树
        if(find(a[i].a) != find(a[i].b)){
            unite(a[i].a, a[i].b);
            res += a[i].price;
            nEdge++;
        }
    }
    //如果加入边的数量小于m - 1,则表明该无向图不连通,等价于不存在最小生成树
    if(nEdge < m-1) res = -1;
    return res;
}
int main(){
    int n, m, ans;
    while(scanf("%d%d", &n, &m), n){
        Init(m);
        for(int i = 0; i < n; i++){
            scanf("%d%d%d", &a[i].a, &a[i].b, &a[i].price);
            //将村庄编号变为0~m-1（这个仅仅只是个人习惯，并非必要的）
            a[i].a--;
            a[i].b--;
        }
        ans = Kruskal(n, m);
        if(ans == -1) printf("?\n");
        else printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}