BAIRE ONE FUNCTIONS (Baire第一类函数)

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JOHNNY HU, BAIRE ONE FUNCTIONS.

一些基本的定义(诸如逐点收敛, 一致收敛集合等)就不叙述了.

定义

Definition: 令, 函数, 若存在连续函数列逐点连续收敛到, 则称为Baire第一类函数.

注: Baire第n类函数为Baire第n-1类函数的极限点.

很显然是:

• 连续函数必为Baire第一类函数;
• 仅有有限个不连续点的函数是Baire第一类函数;
• Baire第一类函数不一定是连续函数;
• Baire第一类函数对加法和数乘封闭;

导函数

定理1: 假设是可微的, 则是Baire第一类函数.

一致收敛性质

引理1: 如果是有界的Baire第一类函数, 则存在拥有共同界的连续函数列逐点收敛到.

引理2： 令为定义在上的Baire第一类函数列, 为一收敛的正项级数. 如果, 则函数属于Baire一类函数.

定理2: 令函数列为定义在上的Baire第一类函数, 且一致收敛到, 则同样是Baire第一类函数.

引理5: 假设且为集合, 则, 其中为集合, 且 并且俩俩不交.

引理8: 如果为一闭集. 如果在上连续, 则存在一个扩张连续且.

引理9: 假设, 为集且俩俩不交, 定义

则为Baire第一类函数.

定理3: 函数在上连续, 当且仅当集合和关于任意为集合.

显然, 反之首先用引理5, 8, 9 (并结合一致收敛性) 证明在有界函数下成立, 再构造复合函数

其中为严格单调上升连续有界函数, 并利用事实:

若为连续函数为Baire第一类函数, 则亦为Baire第一类函数.

的连续点

定义: , 我们称

为在处的振荡(oscillation).

定义: 对于, 令, 我们称

为在点出的振荡.

引理10: 在出连续的充分必要条件是.

引理11: 假设为一闭集列且, 则至少有一个包含一个闭区间.

注: 此乃Baire定理, 一个等价(或更一般)的描述为:

为集, 即, 其中为闭集. 若每个皆无内点, 则也无内点.

定理5: 如果为Baire第一类函数, 则每个闭区间都包含的一个连续点.