【数据结构】 优先级队列(堆)与堆的建立

文章目录

  • 优先级队列
    • ‍优先级队列的概念
  • 堆的由来
    • ‍堆的概念
    • ‍堆的性质
    • ‍堆的存储方式
  • 堆的创建
    • ‍堆向下调整
    • ‍代码实现
      • 代码测试结果展示
  • 建堆的时间复杂度
  • ⭕总结

优先级队列

【数据结构】 优先级队列(堆)与堆的建立_第1张图片

‍优先级队列的概念

前面介绍过队列,队列是一种先进先出(FIFO)的数据结构,但有些情况下,操作的数据可能带有优先级,一般出队列时,可能需要优先级高的元素先出队列,该中场景下,使用队列显然不合适。

比如:在手机上玩游戏的时候,如果有来电,那么系统应该优先处理打进来的电话;初中那会班主任排座位时可能会让成绩好的同学先挑座位。

在这种情况下,数据结构应该提供两个最基本的操作,一个是返回最高优先级对象,一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)。

堆的由来

为了模拟实现优先级队列的模拟实现,JDK1.8中的PriorityQueue底层使用了堆这种数据结构,而堆实际就是在完全二叉树的基础上进行了一些调整。

‍堆的概念

如果有一个关键码的集合K = {k0,k1, k2,…,kn-1},把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中,并满足:Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0,1,2…,则称为 小堆(或大
堆)。
将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆,根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆

‍堆的性质

  • 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值;

  • 堆总是一棵完全二叉树。

【数据结构】 优先级队列(堆)与堆的建立_第2张图片

‍堆的存储方式

从堆的概念可知,堆是一棵完全二叉树,因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储

【数据结构】 优先级队列(堆)与堆的建立_第3张图片
注意:对于非完全二叉树,则不适合使用顺序方式进行存储,因为为了能够还原二叉树,空间中必须要存储空节点,就会导致空间利用率比较低

将元素存储到数组中后,可以根据二叉树章节的性质5对树进行还原。假设i为节点在数组中的下标,则有:

  • 如果i为0,则i表示的节点为根节点,否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2

  • 如果2 * i + 1 小于节点个数,则节点i的左孩子下标为2 * i + 1,否则没有左孩子

  • 如果2 * i + 2 小于节点个数,则节点i的右孩子下标为2 * i + 2,否则没有右孩子

堆的创建

‍堆向下调整

对于集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }中的数据,如果将其创建成堆呢?
【数据结构】 优先级队列(堆)与堆的建立_第4张图片

仔细观察上图后发现:根节点的左右子树已经完全满足堆的性质,因此只需将根节点向下调整好即可。

向下过程(以小堆为例):

  1. 让parent标记需要调整的节点,child标记parent的左孩子(注意:parent如果有孩子一定先是有左孩子)
  2. 如果parent的左孩子存在,即:child < size, 进行以下操作,直到parent的左孩子不存在

parent右孩子是否存在,存在找到左右孩子中最小的孩子,让child进行标
将parent与较小的孩子child比较,如果

  • parent小于较小的孩子child,调整结束
  • 否则:交换parent与较小的孩子child,交换完成之后,parent中大的元素向下移动,可能导致子树不满足对的性质,因此需要继续向下调整
    即parent = child;child = parent*2+1; 然后继续2。

【数据结构】 优先级队列(堆)与堆的建立_第5张图片
大堆实现与其类似

‍代码实现

public class MyHeap {
    public void shiftDown(int[] array, int parent) {
        // child先标记parent的左孩子,因为parent可能右左没有右
        int child = 2*parent + 1;
        int size = array.length;
        while(child < size ) {
            // 如果右孩子存在,找到左右孩子中较小的孩子,用child进行标记
            if(child + 1 < size) {
                if(array[child + 1] < array[child]) {
                    child = child + 1;
                }
            }
            // 如果最小的孩子比其父亲还小,说明该结构没有满足堆的特性,进行交换
            if(array[child] < array[parent]) {
                int tmp = array[parent];
                array[parent] = array[child];
                array[child] = tmp;
            } else {
                //满足就退出循环
                break;
            }
            // parent中大的元素往下移动,可能会造成子树不满足堆的性质,因此需要继续向下调整
            parent = child;
            child = 2*parent + 1;
        }
    }
}

代码测试结果展示

测试代码

public class TestMain {
    public static void main(String[] args) {
        MyHeap myHeap = new MyHeap();
        int[] array = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
        System.out.println("调整前:");
        for(int i = 0; i < array.length ; i++) {
            System.out.print(array[i] + " ");
        }
        for(int parent = (array.length-2)/2 ; parent >= 0; parent --) {
            myHeap.shiftDown(array, parent);
        }
        System.out.println();
        System.out.println("调整后:");
        for(int i = 0; i < array.length ; i++) {
            System.out.print(array[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}

测试结果
【数据结构】 优先级队列(堆)与堆的建立_第6张图片

注意:在调整以parent为根的二叉树时,必须要满足parent的左子树和右子树已经是堆了才可以向下调整。

时间复杂度分析:

最坏的情况即图示的情况,从根一路比较到叶子,比较的次数为完全二叉树的高度,即时间复杂度为
在这里插入图片描述

建堆的时间复杂度

对于普通的序列{ 1,5,3,8,7,6 },我们需要建立大堆,即根节点的左右子树不满足堆的特性,又该如何调整呢?
【数据结构】 优先级队列(堆)与堆的建立_第7张图片
做法如下:

找倒数第一个非叶子节点,从该节点位置开始往前一直到根节点,遇到一个节点,应用向下调整

for(int parent = (array.length-2)/2 ; parent >= 0; parent --) {
	myHeap.bigDown(array, parent);
}

那么时间复杂度又为多少呢?

因为堆是完全二叉树,而满二叉树也是完全二叉树,此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值,多几个节点不影响最终结果):

【数据结构】 优先级队列(堆)与堆的建立_第8张图片
因此:建堆的时间复杂度为O(N)

⭕总结

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