【数据结构】 优先级队列(堆)与堆的建立

优先级队列

‍优先级队列的概念

前面介绍过队列，队列是一种先进先出(FIFO)的数据结构，但有些情况下，操作的数据可能带有优先级，一般出队列时，可能需要优先级高的元素先出队列，该中场景下，使用队列显然不合适。

比如：在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话；初中那会班主任排座位时可能会让成绩好的同学先挑座位。

在这种情况下，数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)。

堆的由来

为了模拟实现优先级队列的模拟实现，JDK1.8中的PriorityQueue底层使用了堆这种数据结构，而堆实际就是在完全二叉树的基础上进行了一些调整。

‍堆的概念

如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为 小堆(或大
堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

‍堆的性质

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

• 堆总是一棵完全二叉树。

‍堆的存储方式

从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储

注意：对于非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储，因为为了能够还原二叉树，空间中必须要存储空节点，就会导致空间利用率比较低

将元素存储到数组中后，可以根据二叉树章节的性质5对树进行还原。假设i为节点在数组中的下标，则有：

• 如果i为0，则i表示的节点为根节点，否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2

• 如果2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为2 * i + 1，否则没有左孩子

• 如果2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为2 * i + 2，否则没有右孩子

堆的创建

‍堆向下调整

对于集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }中的数据，如果将其创建成堆呢？

仔细观察上图后发现：根节点的左右子树已经完全满足堆的性质，因此只需将根节点向下调整好即可。

向下过程(以小堆为例)：

1. 让parent标记需要调整的节点，child标记parent的左孩子(注意：parent如果有孩子一定先是有左孩子)
2. 如果parent的左孩子存在，即:child < size， 进行以下操作，直到parent的左孩子不存在

parent右孩子是否存在，存在找到左右孩子中最小的孩子，让child进行标
将parent与较小的孩子child比较，如果

• parent小于较小的孩子child，调整结束
• 否则：交换parent与较小的孩子child，交换完成之后，parent中大的元素向下移动，可能导致子树不满足对的性质，因此需要继续向下调整
  即parent = child；child = parent*2+1; 然后继续2。

大堆实现与其类似

‍代码实现

public class MyHeap {
    public void shiftDown(int[] array, int parent) {
        // child先标记parent的左孩子，因为parent可能右左没有右
        int child = 2*parent + 1;
        int size = array.length;
        while(child < size ) {
            // 如果右孩子存在，找到左右孩子中较小的孩子,用child进行标记
            if(child + 1 < size) {
                if(array[child + 1] < array[child]) {
                    child = child + 1;
                }
            }
            // 如果最小的孩子比其父亲还小，说明该结构没有满足堆的特性，进行交换
            if(array[child] < array[parent]) {
                int tmp = array[parent];
                array[parent] = array[child];
                array[child] = tmp;
            } else {
                //满足就退出循环
                break;
            }
            // parent中大的元素往下移动，可能会造成子树不满足堆的性质，因此需要继续向下调整
            parent = child;
            child = 2*parent + 1;
        }
    }
}

代码测试结果展示

测试代码

public class TestMain {
    public static void main(String[] args) {
        MyHeap myHeap = new MyHeap();
        int[] array = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
        System.out.println("调整前：");
        for(int i = 0; i < array.length ; i++) {
            System.out.print(array[i] + " ");
        }
        for(int parent = (array.length-2)/2 ; parent >= 0; parent --) {
            myHeap.shiftDown(array, parent);
        }
        System.out.println();
        System.out.println("调整后：");
        for(int i = 0; i < array.length ; i++) {
            System.out.print(array[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}

测试结果

注意：在调整以parent为根的二叉树时，必须要满足parent的左子树和右子树已经是堆了才可以向下调整。

时间复杂度分析：

最坏的情况即图示的情况，从根一路比较到叶子，比较的次数为完全二叉树的高度，即时间复杂度为

建堆的时间复杂度

对于普通的序列{ 1,5,3,8,7,6 }，我们需要建立大堆，即根节点的左右子树不满足堆的特性，又该如何调整呢？

做法如下：

找倒数第一个非叶子节点，从该节点位置开始往前一直到根节点，遇到一个节点，应用向下调整

for(int parent = (array.length-2)/2 ; parent >= 0; parent --) {
	myHeap.bigDown(array, parent);
}

那么时间复杂度又为多少呢？

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

因此：建堆的时间复杂度为O(N)

⭕总结

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