数据结构与算法（第二季）：插入排序

插入排序（Insertion Sort）

一、概念

• 插入排序非常类似于扑克牌的排序。

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• 执行流程：
  • 在执行过程中，插入排序会将序列分为两部分。头部是已经排好序的，尾部是待排序的。

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• 从头开始扫码每一个元素，每当扫码到一个元素，就将它插入到头部合适的位置，使得头部数据依然保持有序。
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二、代码实现

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三、逆序对（Inversion）

• 数组[2,3,8,6,1]的逆序对为：<2,1> <3,1> <8,1> <8,6> <6,1>共5个逆序对。
• 插入排序的时间复杂度与逆序对的数量成正比。逆序对的数量越多，插入排序的时间复杂度越高。

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• 最坏，平均时间复杂度：O(n^2)
• 最好时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)
• 当逆序对的数量极少时，插入排序的效率特别高。甚至速度比O(nlogn)级别的快速排序还要快。
• 数据量不是特别大的时候，插入排序的效率也是非常好的。

四、代码优化

1、 第一种优化

• 思路是将【交换】转为【挪动】。

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• 先将待插入的元素备份。
• 头部有序数据中比待插入元素大的，都朝尾部方向挪动1个位置。
• 将待插入元素放到最终的合适位置。

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2、 第二种优化（二分搜索优化）

• 在元素v的插入过程中，可以先二分搜索出合适的插入位置，然后再将元素v插入。

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• 要求二分搜索返回的插入位置：第一个大于v的元素位置。
• 如果v是5，返回索引2
• 如果v是1，返回索引0
• 如果v是15，返回索引7
• 如果v是8，返回索引5

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2.1、 思路

• 查找v插入的位置

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2.2、 实例

• 当begin == end，即退出。

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2.3 实现

@Override
protected void sort() {
    for (int begin = 1; begin < array.length; begin++) {
        insert(begin, search(begin));
    }
}

/**
 * 将source位置的元素插入到dest位置
 * @param source
 * @param dest
 */
private void insert(int source, int dest) {
    T v = array[source];
    for (int i = source; i > dest; i--) {
        array[i] = array[i - 1];
    }
    array[dest] = v;
}

/**
 * 利用二分搜索找到 index 位置元素的待插入位置
 * 已经排好序数组的区间范围是 [0, index)
 * @param index
 * @return
 */
private int search(int index) {
    int begin = 0;
    int end = index;
    while (begin < end) {
        int mid = (begin + end) >> 1;
        if (cmp(array[index], array[mid]) < 0) {
            end = mid;
        } else {
            begin = mid + 1;
        }
    }
    return begin;
}
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• 需要注意的是，使用了二分搜索后，只是减少了比较次数，但插入顺序的平均时间复杂度依旧是`O(n^2)。

二分搜索（Binary Search）

一、 概念

• 如何确定一个元素在数组中的位置？
• 如果是无序数组，从第0个位置开始遍历搜索，平均时间复杂度：O(n)

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• 如果是有序数组，可以使用二分搜索，最坏时间复杂度：O(logn)

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二、 思路

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三、 实例

• 搜索`10

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• 搜索3

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四、代码实现

/**
 * 查找v在有序数组array中的位置
 */
public static int indexOf(int[] array, int v) {
    if (array == null || array.length == 0) return -1;
    int begin = 0;
    int end = array.length;
    while (begin < end) {
        int mid = (begin + end) >> 1;
        if (v < array[mid]) {
            end = mid;
        } else if (v > array[mid]) {
            begin = mid + 1;
        } else {
            return mid;
        }
    }
    return -1;
}
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• 如果存在多个重复的值，返回的值不确定。