概率论与数理统计B 重点/笔记梳理 第一章

第一章 随机事件及其概率

第一节 随机事件及其运算

1.必然现象和随机现象的概念。

2.随机试验的特征，记为E(experiment)：

• 重复性
• 未知结果，已知可能结果

3.随机试验每一个可能产生的结果为随机事件，简称为事件。随机试验每一个可能产生的基本事件集合为样本空间。

4.基本事件、复合事件的概念。（结合离散数学中的来理解）

5.随机事件之间的关系：

• 包含、相等
• 并和交
• 差
• 互斥(互不相容)——不交
• 互逆(对立)——不交 and 并起来等于全集

tips:互逆一定互斥，互斥不一定互逆

第二节

1.概率用来刻画事件出现可能性。

2.古典概型特征：

• 是一个随机试验
• 有限性
• 等可能性(基本事件)

3.如果一个古典概型E包含n个基本事件，事件A包含k个基本事件，则:
$$P(A)=\frac{k}{n}=\frac{事件包含的基本事件数目}{实验的基本事件总数}$$
4.注意放回和不放回的区别。

5.题目基本事件发生概率给出，将其转换为一个E含有多少个基本事件。

6.解决概率问题就是分析事件发生的步骤。

7.概率的统计定义：

在n次重复实验中，事件A出现次数为k，为事件A的频率，那么：
$$P(A)=\frac{k}{n}=\frac{事件发生频率}{重复实验次数}$$
8.频率的稳定性：当n足够大时，k会稳定在一个数据的附近。

9.统计概率的性质2(P14):

• 基本事件可加性；
• 不可能时间和必然事件；
• 任意事件概率归一化。

10.几何概率定义：事件几何测度/实验几何测度

11.几何概率特别注意：

• 概率为0不一定为不可能事件；
• 概率为1不一定为必然事件。

第三节 概率的公理化定义及性质(概型的综合定义)

1.概率的公理化定义：样本空间的幂集——子集集合作为定义域，每个子集对应一个事件，每个事件的概率构成的集合作为值域，这样的单射函数P(*)有如下性质：

• 非负性：任意事件概率非0；
• 规范性：必然事件概率为1；
• 完全可加性：互不相容事件可加。

2.这部分多用集合去考虑。

3.加法定理：包含排斥或定理衍生：
$$\begin{gathered} P({\cup }_{i=1}^n{A}_i)=(-1{)}^{1-1}\sum _{i=1}^{n}P(A_i)+ \\ (-1{)}^{2-1}\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^{n}P(A_i{A}_j) \\ +....+ \\ (-1{)}^{m-1}\sum _{i_1=1}^n...\sum _{i_m=i_{m-1}}^{n}P(A_{i_1}...A_{i_m}) \end{gathered}$$

第四节 条件概率与乘法公式

1.条件概率定义：注意条件在后，结果在前。

2.乘法公式：就是通过条件概率求交集概率的。

3.两个重要公式：
$$\begin{gathered} P(A_1{A}_2{A}_3)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)（传递性） \\ P(\neg B|A)=1-P(B|\neg A)（条件概率取反公式） \end{gathered}$$

第五节 全概率公式和贝叶斯公式

1.剖分的概念——两两互不相容的部分

2.全概率公式及其应用：

全概率公式就是对于每一个样本空间的剖分，都有一个共同的结果，那么要求整体的这个结果，就可以用全概率公式。

或者这样理解：要求一个样本空间下的某个事件A，但是这个样本空间有多个部分都会对这个事件A产生影响或者是说对这个事件A的概率产生贡献，那么这个情况下就可以用全概率公式。
$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)(样本空间下有n个剖分)$$
eg:我从4个同学中等可能抽到一个找到会打篮球的人的概率，4个同学各自会打篮球的概率为…——首先就有4个剖分并且每个剖分概率为0.25，对于每一个同学都有个自己的会打篮球的概率，对整体事件都有贡献。

3.贝叶斯公式

贝叶斯公式求的是已知了结果，我要求取条件，全概率公式与之相反：已知了条件，要求取结果。
$$P(B_i|A)=\frac{P(A{B}_i)}{P(A)}=\frac{P(B_i)|P(A|B_i)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)}$$
通俗点来说，你用深度学习思想去看就是：

有n个样本（剖分）会对你的预测结果（label）产生影响，那么现在对于贝叶斯——已知了每个样本的结果label，要求的这个样本所属的类别概率。

eg：

一个病人可能患有3种疾病，每种疾病的概率不一样，对于每一个疾病，患上后吃了同一种药的恢复概率是不同的，现在一个病人吃了该病恢复了，求这个病人最有可能患上哪种病（属于哪个病类别的可能性最大）。

第六节 事件独立性

1.如何判断两个事件独立:
$$\begin{gathered} P(B|A)=P(B)(A的出现对B没有影响)\to \frac{P(AB)}{P(A)}=P(B) \\ \to P(AB)=P(A)P(B) \end{gathered}$$
2.ABC三个事件，两两独立也不能保证他们互相独立。

3.多个事件相互独立的充要条件：
$$P(A_1{A}_2{A}_3...A_n)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$$
4.A\B\C相互独立，那么:
$$\begin{gathered} A\cup B和C相互独立 \\ A-B和C相互独立 \end{gathered}$$
5.n重伯努利实验:
$$p(k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$