CANS_Exercise_2

Zn^*的构造并验证是否为群

1.生成素数

使用random伪随机函数随机生成在区间(0,1000]的数，判定是否为素数，不是则继续生成，只能生成素数为止

def GenPrime():
    flag = False
    while flag is False:
        result = random.random() * 1000
        int(result)  # 随机生成在区间[0,1000)的数
        for num in range(2, int(math.sqrt(result))):
            if (result % num == 0):
                break
            elif (num == int(math.sqrt(result))):
                flag = True
                break
    return result

2.对Zn^*所需的变量进行取值,并构造Zn^*的集合

p = GenPrime()
q = GenPrime()
while p ==q:
    q = GenPrime()
N = p * q
# 列表G存储Zn*的集合
G = []
for num in range(2, N - 1):
    if (math.gcd(num, N) == 1):
        G.append(num)
        break

构造完成后明显可知二元关系是模N的乘法运算，单位元为1

3.首先验证封闭性

# 首先验证封闭性,利用list.index来寻找匹配项，若不存在则会抛出异常：
for i in G:
    for j in G:
        G.index(i * j % N)
print('满足封闭性')

4.验证是否存在逆元

# 验证是否存在逆元，存在逆元就是相乘得单位元，由此遍历一般，看看有无例外
length = len(G)
counter = 0
for i in G:
    for j in G:
        num = i * j % N
        if num == 1:
            counter = counter + 1
            break
if counter == length:
    print('存在逆元')

5.结合律

对于模N的乘法运算结合律必定满足

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aes中sbox的构造

1.初始化存储sbox的列表

# initialize a list of sbox
sbox = [None] * 256
sbox[0] = 0x63

2.求乘法逆元

首先用生成元3不断乘3来生成一个用来存储3^n的正表，而0 < n < 256，在这个正表里面可以遍历整个GF(2^8)，而对应的下标 i 的值的逆元则为下标 (256 - i) 的值

# 使用生成元为3生成的表
table = [None] * 256
x = 1
table[0] = x
while i < 255:
    # x对应A，carry是查看最高位是否有进位，有则要与1b异或
    carry = 0x1b if x & 0x80 else 0
    x ^= (x << 1)
    x ^= carry
    x = x & 0xff
    table[i] = x
    i += 1
# 此处省略了生成逆元表的步骤，直接使用了已有的正表来表示逆元
i = 0
    # 因为对于生成元来说3，在GF（2^8）中，遍历255次后就完全遍历整个域，并且3^255=3^0
    # 而我们上面则生成了关于3^n的在GF(2^8)的表，而可以知道正表中下标为254的数乘3得1，以此类推，下标为253得数*3*3得1
    # 通过逆向思维可以知道数 x 在正表中的下标 i 与其逆元下标 y 的和为255
    while i < 255:
        # temp代表是table[i]的逆元
        temp = table[255 - i]
        sbox[table[i]] = temp ^ shift(temp, 4) ^ shift(temp, 3) ^ shift(
            temp, 2) ^ shift(temp, 1) ^ 0x63
        i += 1

3.通过矩阵乘法进行字节替换

来自书上的公式

b^'_i = b_i xor b_(i+4)mod8 xor b_(i+5)mod8 xor b_(i+6)mod8 xor b_(i+7)mod8 xor c_i
上面的规律可知道是循环移位,分别是向左移4，3，2，1位的循环移位，

可由下面函数进行计算

# 用于移位操作，方便后续的公式的计算，s表示向左循环移动s位
def shift(b, s):
    # 取低八位
    b = b << s | b >> (8 - s)
    return b & 0xff

4.完整代码

通过整合上述代码，可得

# 用于移位操作，方便后续的公式的计算
def shift(b, s):
    # 取低八位
    b = b << s | b >> (8 - s)
    return b & 0xff


def initialize_sbox():
    # initialize a list of sbox
    sbox = [None] * 256
    # 使用生成元为3生成的表
    table = [None] * 256

    sbox[0] = 0x63
    x = 1
    table[0] = x
    i = 1
    # 假定生成元是3，可以遍历整个GF(2^8)
    # 生成了整个3^n次方的表，0