听说背包问题很难？ 这篇总结篇来拯救你了

文章转自代码随想录

已经把背包问题都讲完了，那么现在要对背包问题进行总结一番。

背包问题是动态规划里的非常重要的一部分，所以我把背包问题单独总结一下，等动态规划专题更新完之后，我们还会在整体总结一波动态规划。

关于这几种常见的背包，其关系如下：

通过这个图，可以很清晰分清这几种常见背包之间的关系。

在讲解背包问题的时候，我们都是按照如下五部来逐步分析，相信大家也体会到，把这五部都搞透了，算是对动规来理解深入了。

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

其实这五部里哪一步都很关键，但确定递推公式和确定遍历顺序都具有规律性和代表性，所以下面我从这两点来对背包问题做一做总结。

# 背包递推公式

问能否能装满背包（或者最多装多少）：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); ，对应题目如下：

• 动态规划：416.分割等和子集

• (opens new window)
• 动态规划：1049.最后一块石头的重量 II

• (opens new window)

问装满背包有几种方法：dp[j] += dp[j - nums[i]] ，对应题目如下：

• 动态规划：494.目标和

• (opens new window)
• 动态规划：518. 零钱兑换 II
• (opens new window)
• 动态规划：377.组合总和Ⅳ
• (opens new window)
• 动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）

• (opens new window)

问背包装满最大价值：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); ，对应题目如下：

• 动态规划：474.一和零

• (opens new window)

问装满背包所有物品的最小个数：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]); ，对应题目如下：

• 动态规划：322.零钱兑换

• (opens new window)
• 动态规划：279.完全平方数

• (opens new window)

# 遍历顺序

# 01背包

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！

(opens new window)中我们讲解二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

和动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）

(opens new window)中，我们讲解一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。

一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维dp数组实现的01背包其实是有很大差异的，大家需要注意！

# 完全背包

说完01背包，再看看完全背包。

在动态规划：关于完全背包，你该了解这些！

(opens new window)中，讲解了纯完全背包的一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

但是仅仅是纯完全背包的遍历顺序是这样的，题目稍有变化，两个for循环的先后顺序就不一样了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

相关题目如下：

• 求组合数：动态规划：518.零钱兑换II

• (opens new window)
• 求排列数：动态规划：377. 组合总和 Ⅳ
• (opens new window)、动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）
  • (opens new window)

  如果求最小数，那么两层for循环的先后顺序就无所谓了，相关题目如下：

  • 求最小数：动态规划：322. 零钱兑换
   (opens new window)、动态规划：279.完全平方数
  • (opens new window)

  对于背包问题，其实递推公式算是容易的，难是难在遍历顺序上，如果把遍历顺序搞透，才算是真正理解了。

  # 总结

  这篇背包问题总结篇是对背包问题的高度概括，讲最关键的两部：递推公式和遍历顺序，结合力扣上的题目全都抽象出来了。

  而且每一个点，我都给出了对应的力扣题目。

  最后如果你想了解多重背包，可以看这篇动态规划：关于多重背包，你该了解这些！

  (opens new window)，力扣上还没有多重背包的题目，也不是面试考察的重点。

  如果把我本篇总结出来的内容都掌握的话，可以说对背包问题理解的就很深刻了，用来对付面试中的背包问题绰绰有余！

  背包问题总结：