C++数据结构 -- AVL树
目录
- 一、什么是AVL树？
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- AVL树的概念
- 二、 AVL树的节点的定义
- 三、 AVL树新结点的插入
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- 3.1 左单旋
- 左单旋代码实现
- 3.2 右单旋
- 右单旋代码实现
- 3.3 左单旋或者右单旋解决不了的问题
- 3.4 左右双旋
- 左右双旋代码实现
- 3.5 右左双旋
- 右左双旋代码实现
- 四、代码汇总
一、什么是AVL树？
AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii
和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树是空树或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是AVL树左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)（我们用的是右子树高度减左子树高度）
像这样的一颗树，每一个节点的平衡因子的绝对值都小于2的树就称为AVL树。
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2n)，搜索的时间复杂度为O( l o g 2 n log_2 n log2n)。
这里就有一个问题了，AVL树又称高度平衡二叉搜索树，那么既然是平衡搜索树，为什么不是高度相等，而是高度差不大于1呢？显然，它是做不到在任何情况下都是平衡的，为什么呢？通过以下图片你就能知道答案了。
二、 AVL树的节点的定义
//KV模型
template <class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
public:
pair<K, V> _kv;
//三叉链
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
//平衡因子
int _bf;
//构造函数
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
: _kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
};
三、 AVL树新结点的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子(也可以通过其它方式来控制平衡)，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。
AVL树插入新结点分为两步：
1、按照二叉搜索树的方式插入节点。
2、检查平衡因子并调整树平衡。
假设现在插入18
调整父节点parent的平衡因子：
根据上图可以看出插入了18之后parent的平衡因子变成了1，证明插入节点后影响了以parent为根节点的这颗子树的高度，需要继续沿祖先路径检查平衡因子。
可以看到，再往上更新一次发现parent的平衡因子变成了2，所以以parent为根节点的这颗子树需要进行旋转来调整平衡，那么如何旋转呢？？
现在以parent为根节点的这棵子树明显是右子树高，左子树低，所以需要进行左单旋，那么如何旋转呢？？
3.1 左单旋
有人说这不对啊，你这里只是随机拿了一种情况出来是这样子旋转而已，怎么能代表所有的右边高左边低的情况呢？那我们就来操作一个抽象图的左单旋。
这棵h高度的AVL树在这里举例出三种情况如下：
当h=0时：
当h=1时：
当h=2时：
当h=3，h=4……后面都是一样的，通过以上的几个例子就可以确定左单旋的方法和平衡因子以及旋转后就不用再沿祖先的路径更新的方法都是正确的。
左单旋代码实现
//画图理解
void RotateL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_right;
Node* curleft = cur->_left;
Node* parentParent = parent->_parent;
parent->_right = curleft;
cur->_left = parent;
if (curleft)
{
curleft->_parent = parent;
}
parent->_parent = cur;
if (parentParent == nullptr)
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;//这里记得更新，曾经忘记更新这里
}
else
{
if (parent == parentParent->_left)
{
parentParent->_left = cur;
}
else
{
parentParent->_right = cur;
}
cur->_parent = parentParent;
}
cur->_bf = parent->_bf = 0;
}
3.2 右单旋
对于右单旋，h=0，h=1，h=2的树的旋转和左子树的h=0，h=1以及h=2…的情况是完全类似的，参考左单旋就好了。
右单旋代码实现
void RotateR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curright = cur->_right;
Node* parentParent = parent->_parent;
parent->_left = curright;
cur->_right = parent;
if (curright != nullptr)
{
curright->_parent = parent;
}
parent->_parent = cur;
if (parentParent == nullptr)
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;//这里记得更新，曾经忘记更新这里
}
else
{
if (parent == parentParent->_left)
{
parentParent->_left = cur;
}
else if (parent == parentParent->_right)
{
parentParent->_right = cur;
}
cur->_parent = parentParent;
}
cur->_bf = parent->_bf = 0;
}
3.3 左单旋或者右单旋解决不了的问题
3.4 左右双旋
双旋分为左右双旋和右左双旋。
左右双旋：
当h=0时：
当h=1时：
当h=2时：
情况一：
情况二：
情况三：
情况四：
通过上面左右双旋的例子，直接观察左右双旋后的结果不难发现，双旋的本质是其实是把80的左子树给50的右指针，把80的右子树给90的左指针，最后80成为了这棵树的根，无一例外。这个已然是一个规律了。
那么这个规律又给了我们什么启示呢？
情况一：
情况二：
情况三：
左右双旋的总结：
左右双旋代码实现
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curright = cur->_right;
int bf = curright->_bf;
RotateL(cur);
RotateR(parent);
//画图观察，发现根据bf的值更新这三个节点的平衡因子
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
curright->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
cur->_bf = 0;
curright->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
cur->_bf = -1;
curright = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
以上就是左右双旋需要注意的点，然后右左双旋和左右双旋的情况是完全类似的。
3.5 右左双旋
右左双旋：
情况一：
情况二：
情况三：
右左双旋的总结：
右左双旋代码实现
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_right;
Node* curleft = cur->_left;
int bf = curleft->_bf;
RotateR(cur);
RotateL(parent);
//画图观察，发现根据bf的值更新这三个节点的平衡因子
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
curleft->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = -1;
cur->_bf = 0;
curleft->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 1;
curleft = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
四、代码汇总
#pragma once
#include v = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };*/
vector<int> v = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
AVLTree<int, int> t;
for (const auto& e : v)
{
t.Insert(make_pair(e, e));
}
t.Inorder();
cout << endl;
}
void TestAVLTree5(void)
{
/*vector v = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };*/
vector<int> v;
srand((unsigned int)time(nullptr));
AVLTree<int, int> t;
int N = 1000000;
for (size_t i = 0; i < N; i++)
{
int e = rand();
t.Insert(make_pair(e, e));
}
//t.Inorder();
int ret = t.IsBalance();
cout << ret << endl;
cout << endl;
}
}
以上就是关于AVL树的重点内容啦！学习AVL树最重要的就是学习它插入元素，然后通过旋转控制平衡的过程，至于AVL树删除元素大家有兴趣的可以去学习一下，在《算法导论》这本书中有介绍，大概思路也是先删除元素，如果删除元素后某一棵子树的平衡因子不满足要求就通过旋转调整树的平衡。好了，今天就聊到这里，如果感觉到这篇文章对你有所帮助的话，点个小心心，点点关注呗，后期还会持续更新C++相关的知识哦，我们下期见啦！！！！！！！