这是 LeetCode 上的 「1879. 两个数组最小的异或值之和」 ,难度为 「困难」。
Tag : 「状压 DP」、「动态规划」、「启发式搜索」
给你两个整数数组 nums1
和 nums2
,它们长度都为 n
。
两个数组的 异或值之和 为 (nums1[0] XOR nums2[0]) + (nums1[1] XOR nums2[1]) + ... + (nums1[n - 1] XOR nums2[n - 1])
(下标从 0
开始)。
比方说,[1,2,3]
和 [3,2,1]
的 异或值之和 等于 (1 XOR 3) + (2 XOR 2) + (3 XOR 1) = 2 + 0 + 2 = 4
。
请你将 nums2
中的元素重新排列,使得异或值之和最小 。
请你返回重新排列之后的 异或值之和 。
示例 1:
输入:nums1 = [1,2], nums2 = [2,3]
输出:2
解释:将 nums2 重新排列得到 [3,2] 。
异或值之和为 (1 XOR 3) + (2 XOR 2) = 2 + 0 = 2 。
示例 2:
输入:nums1 = [1,0,3], nums2 = [5,3,4]
输出:8
解释:将 nums2 重新排列得到 [5,4,3] 。
异或值之和为 (1 XOR 5) + (0 XOR 4) + (3 XOR 3) = 4 + 4 + 0 = 8 。
提示:
这是一道「状压 DP」模板题。
为了方便,我们令下标从 开始。
「定义 为考虑前 个元素,且对 nums2
的使用情况为 时的最小异或值」。其中 是一个长度为 的二进制数:若 中的第 位为 ,说明 nums2[k]
已被使用;若 中的第 位为 ,说明 nums2[k]
未被使用。
起始时,只有 ,其余均为无穷大 INF
。 含义为在不考虑任何数,对 nums2
没有任何占用情况时,最小异或值为 。最终 即为答案。
不失一般性考虑 该如何转移,可以以 nums1[i]
是与哪个 nums2[j]
进行配对作为切入点:
由于总共考虑了前 个成员,因此 中 的数量必然为 ,否则 就不是一个合法状态,跳过转移
枚举 nums1[i]
是与哪一个 nums2[j]
进行配对的,且枚举的 需满足在 中的第 位值为 ,若满足则有
其中 prev
为将 中的第 位进行置零后的二进制数,即 prev = s ^ (1 << j)
,符号 ⊕ 代表异或操作。
Java 代码:
class Solution {
public int minimumXORSum(int[] nums1, int[] nums2) {
int n = nums1.length, mask = 1 << n, INF = 0x3f3f3f3f;
int[][] f = new int[n + 10][mask];
for (int i = 0; i <= n; i++) Arrays.fill(f[i], INF);
f[0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int s = 0; s < mask; s++) {
if (getCnt(s, n) != i) continue;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (((s >> (j - 1)) & 1) == 0) continue;
f[i][s] = Math.min(f[i][s], f[i - 1][s ^ (1 << (j - 1))] + (nums1[i - 1] ^ nums2[j - 1]));
}
}
}
return f[n][mask - 1];
}
int getCnt(int s, int n) {
int ans = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) ans += (s >> i) & 1;
return ans;
}
}
C++ 代码:
class Solution {
public:
int minimumXORSum(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
int n = nums1.size(), mask = 1 << n, INF = 0x3f3f3f3f;
vector<vector<int>> f(n + 10, vector<int>(mask, INF));
f[0][0] = 0;
auto getCnt = [&](int s, int n) {
int ans = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) ans += (s >> i) & 1;
return ans;
};
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int s = 0; s < mask; s++) {
if (getCnt(s, n) != i) continue;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (((s >> (j - 1)) & 1) == 0) continue;
f[i][s] = min(f[i][s], f[i - 1][s ^ (1 << (j - 1))] + (nums1[i - 1] ^ nums2[j - 1]));
}
}
}
return f[n][mask - 1];
}
};
Python 代码:
class Solution:
def minimumXORSum(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
n, mask, INF = len(nums1), 1 << len(nums1), 0x3f3f3f3f
f = [[INF] * mask for _ in range(n + 10)]
f[0][0] = 0
for i in range(1, n + 1):
for s in range(mask):
if sum([1 for i in range(n) if (s >> i) & 1]) != i:
continue
for j in range(1, n + 1):
if ((s >> (j - 1)) & 1) == 0:
continue
f[i][s] = min(f[i][s], f[i - 1][s ^ (1 << (j - 1))] + (nums1[i - 1] ^ nums2[j - 1]))
return f[n][mask - 1]
TypeScript 代码:
function minimumXORSum(nums1: number[], nums2: number[]): number {
const n = nums1.length, mask = 1 << n, INF = 0x3f3f3f3f;
const f: number[][] = new Array(n + 10).fill([]).map(() => new Array(mask).fill(INF));
f[0][0] = 0;
const getCnt = (s: number, n: number): number => {
let ans = 0;
for (let i = 0; i < n; i++) ans += (s >> i) & 1;
return ans;
};
for (let i = 1; i <= n; i++) {
for (let s = 0; s < mask; s++) {
if (getCnt(s, n) !== i) continue;
for (let j = 1; j <= n; j++) {
if (((s >> (j - 1)) & 1) === 0) continue;
f[i][s] = Math.min(f[i][s], f[i - 1][s ^ (1 << (j - 1))] + (nums1[i - 1] ^ nums2[j - 1]));
}
}
}
return f[n][mask - 1];
};
事实上,这道题还能使用「模拟退火」进行求解。
由于我们可以无限次对 nums2
进行打乱互换,先来思考如何衡量一个 nums2
排列的“好坏”。
一个简单的方式:固定计算 (nums1[0] XOR nums2[0]) + (nums1[1] XOR nums2[1]) + ... + (nums1[n - 1] XOR nums2[n - 1])
作为衡量当前 nums2
的得分,得分越小,当前的 nums2
排列越好。
迭代开始前先对 nums2
进行一次随机打乱,随后每个回合随机选择 nums2
的两个成员进行互换,并比较互换前后的得分情况,若互换后变好,那么保留该互换操作;若变差,则以一定概率进行重置(重新换回来)。
重复迭代多次,使用一个全局变量 ans
保存下最小异或值之和。
即「模拟退火」的单次迭代基本流程:
❝对于一个能够运用模拟退火求解的问题,最核心的是如何实现
❞calc
方法(即如何定义一个具体方案的得分),其余均为模板内容。
Java 代码(2023/08/23 可过):
class Solution {
int N = 400;
double hi = 1e5, lo = 1e-5, fa = 0.90;
Random random = new Random(20230823);
void swap(int[] n, int a, int b) {
int c = n[a];
n[a] = n[b];
n[b] = c;
}
int calc() {
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) res += n1[i] ^ n2[i];
ans = Math.min(ans, res);
return res;
}
void shuffle(int[] nums) {
for (int i = n; i > 0; i--) swap(nums, random.nextInt(i), i - 1);
}
void sa() {
shuffle(n2);
for (double t = hi; t > lo; t *= fa) {
int a = random.nextInt(n), b = random.nextInt(n);
int prev = calc();
swap(n2, a, b);
int cur = calc();
int diff = cur - prev;
if (Math.log(diff / t) >= random.nextDouble()) swap(n2, a, b);
}
}
int[] n1, n2;
int n;
int ans = Integer.MAX_VALUE;
public int minimumXORSum(int[] nums1, int[] nums2) {
n1 = nums1; n2 = nums2;
n = n1.length;
while (N-- > 0) sa();
return ans;
}
}
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1879
篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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