207. 课程表

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【拓扑排序】

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题目来源

207. 课程表

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题目解读

在选修某些课程之前需要先学习某些课程，先学习的课程有数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] 表示为学习课程 ai 之前要先学习课程 bi。请你判断是否可以完成 numCourses 课程数的课程。

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解题思路

方法一：拓扑排序

这是一道典型的拓扑排序问题。在学习某些课程之前需要先选修学习一些其他的课程，有先后顺序的限制，因此可以使用拓扑排序来解题。拓扑排序方法的基本步骤如下：

• 计算每个节点的入度；
• 将入度为 0 的节点加入到队列 que 中；
• 依次枚举 que 中的节点 node，将与 node 相连的节点 node2 的入度 -1，如果节点 node2 的入度为 0，则将其加入到队列 que 中；

在枚举队列中的节点时，对节点进行标记或者一些特殊处理从而解决相应的问题。在本题中，在枚举队列中的节点时，维护一个变量 cnts 对节点进行计数，如果枚举结束后 cnts != numCourses 则表明选修限制中存在环，即互为先决条件的情况。

在具体实现中，需要定义一个二维数组来建立课程之间的边，还需要一个一维数组 in 来记录各个课程的入度。首先，遍历课程关系数组 prerequisties 更新课程的度以及课程之间的边关系；接着，将度为 0 的课程编号存入队列 q 中；然后，依次枚举队列中的课程，并更新与当前枚举的课程连接的新的课程的入度 -1，如果更新后新的课程入度为 0，则将入队列中，并且在枚举队列中课程时，将计数变量 visited +1；最后，如果计算变量与课程数量有如下关系：visted = numCourses，则表明可以完成所有课程的学习，否则不能。

实现代码

class Solution {
    vector<vector<int>> edges;      // 课程之间的边
    vector<int> in;                 // 课程的入度
public:
    bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        edges.resize(numCourses);
        in.resize(numCourses);
        for(auto prerequisite : prerequisites){
            edges[prerequisite[1]].push_back(prerequisite[0]);
            ++ in[prerequisite[0]];
        }

        queue<int> q;
        for(int i = 0; i < in.size(); ++i){
            if(in[i] == 0){
                q.push(i);
            }
        }

        int visited = 0;
        while(!q.empty()){
            int u =q.front();
            q.pop();
            ++ visited;

            for(int i = 0; i < edges[u].size(); ++i){
                -- in[edges[u][i]];
                if(in[edges[u][i]] == 0){
                    q.push(edges[u][i]);
                }
            }
        }
        
        return visited == numCourses;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(n+m)$，其中 $n$ 为课程数，$m$ 选修课程限制数组的长度。

空间复杂度：$O(n+m)$，课程之间建立邻接表的空间复杂度为 $O(n+m)$。广搜中使用最多 $O(n)$ 的队列空间。因此总空间复杂度为 $O(n+m)$。

知识回顾

拓扑排序的含义与应用可参考 广度优先搜索（5）之拓扑排序。

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