离散数学 第十二章 平面图及其应用

目录

12.1 平面图的基本概念

12.2 欧拉公式

12.3 平面图的判断

12.4 平面图的对偶图

12.5 平面的点着色与图的着色

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1.平面图：若能把一个无向图G的所有结点和边画在平面上，使得任何两边除公共结点外没有其他交叉点。

2.对偶图

3.库拉托夫斯基定理

4.四色问题

12.1 平面图的基本概念

⭐面的定义：G的图形中由边围成的一个封闭区域，不能再分割成子区域。

··面r的边数——>面的度，记D(r)

有限面=内部面 无限面=外部面

 

！！割边只能是一个面的边界

12.2 欧拉公式

定理1：设G=是连通平面图，若它有n个结点，m条边和f个面，则有n-m+f=2

定理2：设G是一个(n,m)简单连通平面图，若m>1,则有m≤3n-6

推论1：任何简单连通平面图中，至少存在一个其度不超过5的结点

推论2：对于具有k(k≥2)个连通分支的平面图G，有n-m+f=k+1

⭐围长：一个图的围长为它包含的最短圈的长度；若不含圈，则规定圈长为

定理3：设G是一个(n,m)简单连通平面图，其围长k>2，则有

一个判断依据：

12.3 平面图的判断

⭐库拉托夫斯基定理

细分：在图G的边uv新增加一个二度结点，称为图G的细分。一条边上也可以同时增加有限个二度结点，所得的新图称为原来图的细分图。

定理：一个图是平面图的充分必要条件是它不包含与或细分图同构的子图。（此定理定性地说明了平面图的本质）

我们将和称为库拉托夫斯基图

12.4 平面图的对偶图

⭐对偶图

定义：若图G=是一个平面图，构造图如下：

1.G的面F1,F2,......,Ff与中的结点一一对应；

2.若面Fi和Fj邻接，则与邻接；

3.若G中有一条边e只是面Fi的边界，则有一环。

12.5 平面的点着色与图的着色

 

定理1：地理G是k-面可着色的当且仅当它的对偶图G*是k-可着色的

定理2：任何连通平面图可五着色。