第三章 信号与系统

引言

1.系统=输入信号+输出信号+关系
2.信号：系统的输入和输出 如果可以用数量来表达，就称之为信号，（在第一章中也对信号有过一段陈述：承载信息的物理媒质就是信号。）
综上：信号与系统这门课的任务就是研究输入和输出之间数学上的变化规律。

连续系统与离散系统

1.某一时刻系统的输出值，不仅与该时刻的输入值有关还与历史输入有关。
2.连续系统：输入和输出都是连续时间t的函数。
3.离散信号：可以由连续的信号在离散的时间点取得。
一个均匀采样的离散信号表达式为：
x[n]=x(n△t)
其中：[ ]表示离散信号
( )表示模拟信号
x（n）表示模拟信号在t=n时刻的值
n是整数
Ps：模拟信号的取值范围是实数域；
数字信号的则是用有限位的0和1表示。
4.连续信号⇨（采样）⇨离散信号（信号仍是模拟的）⇨（A/D转换器）⇨用有限位数表达（数字信号）⇨（D/A转换器）⇨模拟信号

Ps：摩尔定律：每经过18个月，集成电路的性能提高一倍价格降低一倍。

线性系统

1.两个特性
一、叠加特性：系统对两个信号的和输出等于两个信号的和输出。
二、数乘性：如果输入信号放大α倍，输出型号也会被放大α倍。

时/移不变系统

时不变系统性质：

意义：如果函数延时了一段时间m那么输出信号也会延时相同的时间。

移不变系统（在离散系统中）离散系统已经没有了时间变量，而是用一个序号作为自变量。

线性系统对激励的影响

将输入信号称为激励，输出信号称为响应。

离散脉冲序列——离散δ信号

离散卷积

推导过程用到了线性系统和移不变系统，对于非线性系统卷积不适用

任何一个离散信号x[n]都可以表示为如下形式：
在一个移不变系统中有

带入离散信号公式得离散卷积，右侧是它的另一种形式

Ps：1.h[n]叫做系统的冲激响应，反映了系统的特性
2. 卷积定理反映了系统的输出是输入和冲激响应的卷积
3. 移不变系统并不是反褶不变的，即

而是（δ函数是偶函数）

4.因果系统：如果没有信号输入系统就没有输出，h[n]=0(n<0)
即，系统的输出信号只与该时刻之前的输入信号有关，而与之后的信号无关。

卷积过程示意图

狄拉克函数——（冲激函数）连续δ函数

冲激函数零点值为无穷，除此之外其他位置的值都是零；而在无穷时间上的积分为单位1。表达式如下：

用逼近法，使三角形的面积保持为1，当脉冲宽度趋向于零时，就产生了一个冲激函数。如下图：

Ps：
1.冲激函数严格来讲其实不算一个函数，所以称其为“奇异函数”
2.任何一个函数x(t)，都可以写成一系列不同冲激函数δ(t-τ)的加权和形式。

连续卷积（同样仅适用于线性系统）

卷积的性质

离散卷积和连续卷积都适用

一、交换律

因为


二、分配率

三、结合律

四、与冲激函数卷积


一个函数与冲激函数卷积的结果还是其本身。

总结

本章部分重点是线性时不变系统和卷积，线性是一切的基础，没有了线性的条件，其他工作都是徒劳的，所以牢记线性条件来处理问题。