【建堆算法：向上调整算法和向下调整算法的时间复杂度计算】

         因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，且满二叉树算是最坏情况，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：  

向下调整算法：

这里需要用到满二叉树的一些性质：

1.假设树的高度为h，根节点视为第一层，则第h层节点的个数为

2.此二叉树总结点个数N=,则

        为了保证每次调整后，已经调整过的部分不被打乱，我们需要从倒数第二层开始调整，最坏的情况就是每个节点都向下调整了-1次（表示以该节点为根节点的子树的高度），设向下调整的总次数为关于h的函数F（h）,则F（h）表示如下：

F（h）=

利用错位相减法，求F（h）很容易：

 

则：F（h）= ，利用上面的性质2，可得T（N）=N+1-1-

T（N）=N-

 因为要计算时间复杂度，所以我们要逐步去掉影响不大的部分：

T(N)=N-

又当N足够大时，与N相比，可以忽略不计

故向下调整算法时间复杂度：O（N）

向上调整算法：

        为了保证每次调整后，已经调整过的部分不被打乱，我们需要从第二层开始调整，最坏的情况就是每个节点都向上调整了 -1次（表示以该节点所在的层数），设向上调整的总次数为关于h的函数F（h）,则F（h）表示如下：

F（h）=

 

 则：F（h）=2-+=2+

T（N）=2+(N+1)*

 因为要计算时间复杂度，所以我们要逐步去掉影响不大的部分：

故向上调整算法时间复杂度：O(N*)

结论：

向下调整算法时间复杂度:O（N）

向上调整算法时间复杂度:O（N*logN）

        其实在写出调整次数的式子时我们就已经可以得出结论了，对于向下调整算法，层数越高的结点，需调整的次数越少，而层数越高结点越多，也就是大多数结点只需要调整少次，而向上调整算法恰恰相反，大多数结点需要调整多数次，而基于满二叉树结构的特点，我们发现最后一层节点数占总结点数的几乎一半，对于最后一层的调整次数对整体影响很大，因此我们需要让最后一层调整少次，对应以上过程，我们选择向下调整算法更优。