管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——工程

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工程问题是应用题中仅次于路程问题的一个常考点，既是重点，也是难点。其主要的基本关系式为：$工作时间\times 工作效率=工作量$。

本专题主要学习复杂的工程问题，主要有以下三种方法：
第一，利用三个核心参数“工量、功效、工时”，设一个量为未知数来找另外两个量的等量关系；
第二，用好正比反比法；
第三，题目中可以通过转化各个单位效率来快速求解。

对于设份数解题，一般把总工作量设为1，但为了计算更加简便，经常把总工作量设（为所用时间的最小公倍数，利用所给的条件，表达出工作量、工作效率和工作时间中所缺的第三个量。

复杂的工程问题主要涉及多个工作量（两个或三个）、工作效率变化（增加或减少）、工作间歇（干干停停）或者正负效率（牛吃草）等。

题型1 比例法解工程问题

思路：当看到题干的条件是具体工作量的时候，可以采用比例法（正比、反比）进行求解。

题型2 假设法解工程问题

思路：当看到题干给出的是各个单位单独完成的天数，此时将总量设为天数的最小公倍数，使得计算简化。

题型3 转化法解工程问题

思路：当出现一种工作量由多种方式完成的时候，可以将多人转化成一人来进行巧妙解决。

题型4 盈亏工程问题

思路：与路程问题相同，主要利用方程组思路或者用矩形面积法之等积变形来进行求解。

题型5 工程轮流工作问题

思路：轮流工作的关键是先把一个周期的工作量找到，再根据总工作量需要多少周期来寻找天数，最后得到答案，这里主要体现整体与部分的思维模型。

题型6 正负效率问题

思路：正负效率问题也是牛吃草问题，因为这里的一堆草是一个不变的量，而草的量是一个动态变化的量，每天或每周草都在匀速生长，时间越长，草的总量越多，而草的总量由草原上原来的草量和一段时间内新增的草两部分组成。
因此解这类问题的关键是：设法求出牧场上原有的草量和一段时间内新生的草量。由于此类问题一般不给出草量的单位。
第一步，我们通常假设1头牛1天（或1周）吃的草量为单位“1”；
第二步，通过比较两次牛吃的总草量，分别求出每天（或每周）新增的草量和原有的草量；
第三步，将牛一分为二：一部分吃新增的量，一部分吃原有草，即$原有草÷（牛的总数量-每天吃新增草的牛的数量）=天数$。

题型7 工作费用的计算

思路：解决工作费用问题不能着急，要列两个方程组：一个是关于工作时间的方程组， 另一个是关于单位价格的方程组。

题型8 变效率工程问题

思路：要学会根据效率变化前后来寻找等量关系。

总工作量为1

解题方法
（1）当题目不用求出具体的工作量时，可把总工作量设为1。
（2）基本等量关系：$工作效率=\frac{工作量}{工作时间}$；各部分的工作量之和 = 总工作量。

总工作量为具体值

解题方法
如果某部分工作量已给出具体值，或者总工作量、某部分工作量待求时，可设总工作量为x。

工费问题

解题方法
此类问题一般需要列两组方程组进行求解：
第1组：$工作效率\times 工作时间=总工作量$；
第2组：$单位时间工费\times 工作时间=总工费$。

$工作量=工作效率\times 工作时间（s=vt）$；
$工作时间=\frac{工作量}{工作效率}$$（t=\frac{s}{v}）；$
$工作效率=\frac{工作量}{工作时间}$$（v=\frac{s}{t}）；$

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一、考点讲解

1. $工作效率=\frac{工作量}{工作时间}$.
2. $工作量=工作效率\times 工作时间$.
3. $工作时间=工作效率作时间-工作量$.
4. $总效率=各效率的代数和$.

二、考试解读

1. 工程相关的计算公式与路程相似，工效可以看成速度，工量可以看成路程，工时可以看成时间，所以两者可以结合起来记忆。
2. 工作量一般分为具体量和抽象量，对于抽象的工作量，可以将总工作量看成1。对于工作效率，可以看成单独完成时间的倒数。
3. 此类题的核心参数是工作效率，工作效率是做题关键，一般而言，效率已知的题目比效率未知的题目要简单。当效率未知时，要优先设效率，然后找工作量或工作时间的等量建立方程，工程问题的难点是变效率的工程问题。
4. 考试频率级别：高。

三、命题方向

1. 求工作时间
   思路：根据工作时间=工作量/工作效率分析。
2. 求工作量
   思路：根据工作量=工作时间×工作效率来分析。
3. 轮流工作
   思路：轮流工作主要先求出一个周期的工作量，然后预估周期数，最后分析收尾的对象及需要的时间。
4. 变效率工程
   思路：根据效率变化前后的时间关系列方程求解。此外，对于效率未知的工程问题，优先设效率求解。
5. 效率正负
   思路：遇到进水排水的工程问题时，可以将进水管的效率看成正的，排水管的效率看成负的。
6. 求工钱或费用
   思路：此题要找两个量：①各自的工作效率；②各自每天所得到的费用。此外，此类题的运算量较大，也可以采用估算的方式定性判断。
   【解题思路】对于工程问题，主要研究工作量、工作效率和工作时间的关系。此外，工程问题的核心是工作效率，所以工作效率是解决问题的突破口。

工程问题的固定解题思路（通解通法)
A.第一步：先看题目有没有问工作总量
B.如果题目中问了工作总量，设工作总量为S
C.如果题目中没有问工作总量，工作总量永远都是单位1
D.永远只用一个公式进行求解，即s = vt
E.要注意题目中前后单位的一致

$\frac{工作量}{工作时间}=工作效率$
$\frac{工作量}{工作效率}=工作时间$
工作量=工作时间 × 工作效率

实际解题时，常将工作总量设为1进行分析，如：日工作效率为每天完成工作总量的几分之一。

1. 解答工程问题的关键是把工作总量着作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
   (1）工作量 = 工作效率 × 工作时间
   (2）工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率
   (3）工作时间 = 总工作量 ÷（甲工作效率＋乙工作效率）
   2．解题思路和方法：变通后可以利用上述数量关系的公式，两种方法：
   法①：没有给具体每个人的工作量问题，设总量为 “ 1 ”；
   法②：已知每个人的工作量，设总量为已知量的最小公倍数。

工程问题/放水问题
解题提示： 通常将整个工程量（放水量）看成单位1，然后根据题目条件按比例求解。
计算公式：
工作效率 = 完成的工作量 ÷ 工作时间
总量 = 部分量 ÷ 部分量所占的比例
预备知识：

1. 一件工程甲队单独做a天完成，则甲队单独做一天完成工程的$\frac{1}{a}$ 。

2. 一件工程甲队单独做a天完成，乙队单独做b天完成，则甲、乙两队合作一天完成工程的$\frac{1}{a}＋\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$，甲、乙两队合作需$\frac{ab}{a+b}$天完成。

3. $\frac{总抽水量}{抽水时间(小时)}$=每小时抽水量

工程问题为常考题型，命题频率相对较高，题型难度属于中等，核心在于效率的有关计算。

1. 工作量s、工作效率v、工作时间t 三者的关系：
   $工作量=工作效率\times 工作时间$$（s=vt）$；
   $工作时间=\frac{工作量}{工作效率}$$（t=\frac{s}{v}）$ ；
   $工作效率=\frac{工作量}{工作时间}$$（v=\frac{s}{t}）$。
2. 重要说明
   工作量：对于一个题，工作量往往是一定的，可以将总的工作量看做“1”。
   工作效率：合作时，总的效率等于各效率的代数和。

工程

命题方向	核心技巧	备注
模型1：定效工程问题	① 列方程；② 比例法；③ 工量转换法
模型2：变效工程问题	① 列方程；② 比例法；
模型3：效率最优问题	极限法讨论最优解
模型4：轮流工作问题	明确周期，锁定结尾人
模型5：牛吃草问题	① 小牛吃草草也生模型：小牛吃的草=原来的草＋新长的草； ②小牛吃草草也枯模型：小牛吃的草=原来的草-枯掉的草