整数加法溢出原理(五)

主要考虑整数加法的溢出情况, 其中:

${+}_w^u$ 表示 $w$ 位的无符号加法.

${+}_w^t$ 表示 $w$ 位的补码加法.
 

1. 无符号加法

 
对满足 $0\le x,y\le 2^w$ 的 $x$ 和 $y$ 有:
$$x{+}_w^{u}y=\{\begin{array}{l}x+y,..........................x+y<2^w.....................正常\\ x+y-2^w,..................2^w\le x+y\le 2^{w+1}.........溢出\end{array}$$
也可以缩减为 $x{+}_w^{u}y=(x+y)$ mod $2^w$ .
 

2. 补码加法

对满足 $-2^{w-1}\le x,y\le 2^{w-1}-1$ 的 $x$ 和 $y$ 有:
$$x{+}_w^{t}y=\{\begin{array}{l}x+y-2^w,................2^w\le x+y.............................正溢出\\ x+y,.......................-2^{w-1}\le x,y<2^{w-1}..............正常\\ x+y+2^w,................x+y<-2^{w-1}.......................负溢出\end{array}$$
也可以缩减为 $x{+}_w^{t}y=U2T_w[(x+y)$ mod $2^w]$ .
 
注意:
  1. 已知 $|x|<2^w$, 若 $x\ge 0$ , 则 $x$ mod $2^w$ = $x$, 若 $x<0$ , 则 $x$ mod $2^w$ = $x+2^w$.
 
  2. 对满足 $Tmi{n}_w\le x,y\le Tma{x}_w$的 $x,y$ , 令 $s=x{+}_w^{t}y$ ,
 
   当且仅当 $x>0,y>0$ , 但 $s\le 0$ 时, 计算 $s$ 发生了正溢出 ,
 
   当且仅当 $x<0,y<0$ , 但 $s\ge 0$ 时, 计算 $s$ 发生了负溢出 .