数据结构-时间复杂度

一、常数操作：

常见固定时间的操作

1、常见算术运算+、-、*、/、

2、位运算 >>、>>>、 << 、 | 、 & 、^等

3、赋值、比较、自增、自减

4、数组寻址（可以通过计算偏移量直接获取第N位置的内容）

​ 对比链表寻址（是没有办法直接计算得到第N位置的内容，所以它不是一个常数操作）

二、时间复杂度的概念

假设数据量为N的样本中，执行完整个流程，描述常数操作的数量关系。通常由O()表示，是一种渐进时间复杂度。

若存在函数 f（n），使得当n趋近于无穷大时，T（n）/ f（n）的极限值为不等于零的常数，则称 f（n）是T（n）的同数量级函数。

记作 T（n）= O（f（n）），称O（f（n）） 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

T（n）为常数操作执行次数

简单理解，时间复杂度就是把T(n)简化为一个数量级，这个数量级可能为 n,n^2…

时间复杂度的推导

1.分解算法流程中的每一步直至常数操作，并进行T(n)的计算

2.只保留时间函数的最高阶项

下面利用简单选择排序进行说明：

选择排序流程：

1. 0 ~ N-1 中，选择最小的数，并与第1位进行交换
2. 1 ~ N-1 中，选择最小的数，并与第2位进行交换
3. …
4. 直到 N-1位置

分解至常数操作

1. 0 ~ N-1中，查看 并进行 N-1次比较（1），将最小值放到0位置（1） 此时 进行了 N-1次比较 1次交换
2. 1 ~ N-1中，查看并进行N-2次比较（1），将最少值放到1位置（1）
3. …

我们可以得出总次数 是一个等差数列的求和 （N + N-1 + N-2 … + 1）=> T(n) = aN^2 + bN + C

因此得出简单选择排序时间复杂度为 O(N^2)

算法实现：

public static void insertSort(int[] arr){
        if(arr == null || arr.length < 2)
            return;
        for(int i = 0 ; i < arr.length - 1 ; i ++){
            int minIndex = i;
            for(int j = i + 1 ; j <= arr.length - 1; j ++){
                minIndex = arr[j] < arr[minIndex] ? j : minIndex;
            }
//            if(i != minIndex) {
//                swap(arr, i, minIndex);
//            }
            swap(arr,i,minIndex);
        }
    }

递归函数时间复杂度估计

子规模一致

T(n) = a * T(N/b) + O(N^d)
$$log{b}^a<d=>O(N^d)$$

$$log{b}^a>d=>O(Nlog{b}^a)$$

$$log{b}^a=d=>(N^{d}logN)$$

常见的时间复杂度量级有：

• 常数阶O(1)
• 对数阶O(logN)
• 线性阶O(n)
• 线性对数阶O(nlogN)
• 平方阶O(n²)
• 立方阶O(n³)
• K次方阶O(n^k)
• 指数阶(2^n)

评估算法优劣：

1.时间复杂度(流程决定)

2.额外空间复杂度（流程决定）

3.常数项时间

三、额外空间复杂度

完成流程，需要的额外空间。

如果是有限几个变量，O(1)

四、常见数据结构

1.单向链表

public class Node{
	public T value;
    public Node Next;
}

查找需要遍历时间复杂度为O(N)

插入删除某一个节点操作时间复杂度为O(1)

2.双向链表

单向链表无法知道前置节点，双向链表针对这个新增了一个前置节点的指针。

B+树的叶子节点 利用了双向链表的结构，可以方便进行范围查询

public class DoubleNode {
	public T value;
    public DoubleNode pre;
    public DoubleNode next;
}

3.栈和队列

是逻辑结构

栈：先进后出

队列：先进先出

可以使用数组/链表实现栈和队列

如何使用数组完成一个队列结构：

public class Class01_MyListQueue {
    public static class MyListQueue {
        private int[] arr;
        private int pushi;
        private int polli;
        private int size;
        private final int limit;

        public MyListQueue(int limit){
            arr = new int[limit];
            pushi = 0;
            polli = 0;
            size = 0;
            this.limit = limit;
        }

        public void push(int value){
            if( size == limit){
                throw new RuntimeException("队列满了，无法入队");
            }
            size ++;
            arr[pushi] = value;
            pushi = nextIndex(pushi);
        }

        public int polli(){
            if( size == 0){
                throw new RuntimeException("队列为空，无法出对");
            }
            size --;
            int result = arr[polli];
            polli = nextIndex(polli);
            return result;
        }

        public boolean isEmpty(){
            return size == 0;
        }

        public int nextIndex(int index){
            return index < limit - 1?index+1:0;
        }
    }
}

上述过程和Mysql的redolog的设计思想优点类似，一个指针写入（入队），一个指针擦除（出队）。

4.数组

5.Hash表，有序表

put 时间复杂度 O(1)

删除、查询key对应的value、是否包含key 时间复杂度都为O(1)

// 有序表

可以通过 红黑树、avl树、sb树、跳表实现

Redis中关于跳跃表

6.树

树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做 “树” 是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

7.堆

堆是一种比较特殊的数据结构，可以被看做一棵树的数组对象，具有以下的性质：堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；堆总是一棵完全二叉树。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。常见的堆有二叉堆、斐波那契堆等。可以用堆来做TopN的计算

8.图

https://blog.csdn.net/yjw123456/article/details/90211563

常见数据结构的时间复杂度分析：

https://www.bigocheatsheet.com/