克鲁斯卡尔算法的基本介绍和实现方法（Java）
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法介绍：
- 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
- 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止
应用案例：
公交站问题：
1）、某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
2）、各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
克鲁斯卡尔算法图解：
以上图为例来进行演示：
克鲁斯卡尔算法流程：
-
第1步：将边
边 -
第2步：将边
上一步操作之后，边 -
第3步：将边
上一步操作之后，边 -
第4步：将边
上一步操作之后，边 -
第5步：将边
上一步操作之后，边 -
第6步：将边
上一步操作之后，边
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：
克鲁斯卡尔算法分析：
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
- 问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
- 问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
解决方法：
- 问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
- 问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
如何盘算是否构成回路：
在将
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。
关于终点的说明：
- 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
- 因此，接下来，虽然
详细代码：
package Kruskal;
import java.util.Arrays;
public class KruskalAlogrithm {
private int numOfEdges;// 边的数目
private char[] vertex;// 顶点的集合
private int[][] matrix;// 邻接矩阵
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
public static void main(String[] args) {
char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
int matrix[][] = {
/* A *//* B *//* C *//* D *//* E *//* F *//* G */
/* A */ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14 }, /* B */ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF },
/* C */ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF }, /* D */ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF },
/* E */ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8 }, /* F */ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9 },
/* G */ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0 } };
KruskalAlogrithm kruskalAlogrithm = new KruskalAlogrithm(vertex, matrix);
kruskalAlogrithm.showGraph();
System.out.println("排序前：" + Arrays.toString(kruskalAlogrithm.getEdges()));
DEdge[] edges = kruskalAlogrithm.getEdges();
kruskalAlogrithm.sort(edges);
System.out.println("排序后：" + Arrays.toString(edges));
kruskalAlogrithm.Kruskal();
}
// 初始化图
public KruskalAlogrithm(char[] vertex, int[][] matrix) {
this.vertex = vertex;
this.matrix = matrix;
for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertex.length; j++) {
if (matrix[i][j] != INF) {
this.numOfEdges++;
}
}
}
}
// 打印邻接矩阵
public void showGraph() {
for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertex.length; j++) {
System.out.printf("%11d", matrix[i][j]);
}
System.out.println();
}
}
/**
*
* @Title: sort
* @Description: 利用冒泡排序将每个边通过权值进行从小到大的排序
* @param @param edges 边的集合
* @return
*/
private void sort(DEdge[] edges) {
for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
for (int j = 0; j < edges.length - i - 1; j++) {
if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {
DEdge temp = edges[j];
edges[j] = edges[j + 1];
edges[j + 1] = temp;
}
}
}
}
/**
*
* @Title: getEdges
* @Description: 得到边的一个集合
* @return
*/
private DEdge[] getEdges() {
int index = 0;
DEdge[] edges = new DEdge[numOfEdges];
for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertex.length; j++) {
if (matrix[i][j] != INF) {
edges[index++] = new DEdge(vertex[i], vertex[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return edges;
}
/**
*
* @Title: getPosition
* @Description: 返回结点v的下标
* @param @param v 结点
* @return
*/
private int getPosition(char v) {
for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
if (vertex[i] == v) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
*
* @Title: getEnd
* @Description: 返回下标为i的顶点对应的重点
* @param @param ends 各个顶点对应的终点的集合，再遍历边的时候动态加入
* @param @param i 要寻找的下标为i的顶点
* @return 下标为i的顶点对应的终点
*/
private int getEnd(int[] ends, int i) {
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
private void Kruskal() {
// 初始化终点的集合
int index = 0;
int[] ends = new int[numOfEdges];
DEdge[] edges = getEdges();
System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length);
DEdge[] res = new DEdge[vertex.length-1];
sort(edges);
for (int i = 0; i < numOfEdges; i++) {
// 得到这一条边的第一个顶点的下标
int p1 = getPosition(edges[i].start);
// 得到这一条边的第二个顶点的下标
int p2 = getPosition(edges[i].end);
// 得到p1和p2的终点
int m = getEnd(ends, p1);
int n = getEnd(ends, p2);
if(m!=n) {
res[index++] = edges[i];
//将m的终点置为n
ends[m] = n;
}
}
System.out.println("最小生成树：");
for(int i = 0 ; i < index;i++) {
System.out.println(res[i]);
}
}
}
//新建一个Dedges类
class DEdge {
char start;// 边的一个点
char end;// 边的另一个点
int weight;// 边的权值
public DEdge(char start, char end, int weight) {
super();
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
@Override
public String toString() {
return "DEdge [start=" + start + ", end=" + end + ", weight=" + weight + "]";
}
}
算法难点：
private int getEnd(int[] ends, int i) {
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
上述代码的作用使返回指定下标i的顶点的终点，要注意此时的ends数组使动态变化的也就是说再Kruskal（）方法中每遍历一次边时，符合m！=n这个条件才会将ends实行相应的变化，即将符合条件的边的start顶点的终点设置会end，而在上面这串代码中，则是获取相应的终点，如果下标为i的终点等于0，则表示终点指向自身，反之就在ends数组中找到相应的值。