八叉树

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一、八叉树基本原理：

   用八叉树来表示三维形体，并研究这种表示下的各种操作以及应用，是进入80年代后开展起来的。这种方法，既可以看成是四叉树方法在三维空间的推广，也可以认为是三维体素阵列表示形体方法的一种改进。

   八叉树的逻辑结构如下：

   假设要表示的形体V可以放在一个充分大的正方体C中，C的边长为2n,形体V C，他的八叉树可以用以下的递归方法来定义：
   八叉树的每一个节点与C的一个子立方体对应 ，树根与C本身相对应。如果V=C，那么V的八叉树只有树根。 如果V不等于C，则将C等分为8个子立方体，每个子立方体与树根的一个子节点相对应。只要某个子立方体不是完全空白，或者完全为V所占据，就要被八等分，从而对应的节点也就有了八个子节点。这样的递归判断，分割一直要进行到节点所对应的立方体或是完全空吧，或是完全为V所占据，或是其大小已经是预先定义的体素大小，并且对他与V之交左一定的“舍入”，使体素或认为是空白的，或认为是V占据的。

         
如果所生成的八叉树的节点可分为三类：

   灰节点： 它对应的立方体部分的为V所占据；
   白节点： 它对应的立方体没有V的内容；
   黑节点： 它对应的立方体全部为V所占据。

  后两类又称为叶节点。形体V关于C的八叉树的逻辑结构是这样的：他是一棵树，其上的节点要么是叶节点，要么是有八个子节点的灰节点。根节点与C相对应，其他节点与C的某个子立方体相对应。

  根据不同的存储方式，八叉树也可以分别称为常规的、线性的、一对八的八叉树等。

二、八叉树的存储结构：

  八叉树有三种不同的存贮结构，分别是规则方式、线性方式以及一对八方式。相应的八叉树也分别称为规则八叉树、线性八叉树以及一对八式八叉树。不同的存贮结构的空间利用率及运算操作的方便性是不同的。分析表明，一对八式八叉树优点更多一些。

1. 规则八叉树：

  规则八叉树的存储结构用一个有九个字段的记录来表示树中的每个节点。其中一个字段来描述该节点的特性（再目前假定下，只要描述他是灰，白，黑三类节点中的哪一类就行。）其余八个字段分别用来存放指向其八个子节点的指针。 这是最普遍使用的表示树形结构的存储结构的方式。

  规则八叉树缺陷较多，最大的问题是指针占用了大量的空间。假定每个指针要用两个字节表示，而结点的描述用一个字节，那么存放指针要占总的存贮量的94％。因此，这种方法虽然十分自然，容易掌握，但在存贮空间的使用率方面不很理想。

2.线性八叉树：

  线性八叉树注重考虑如何提高空间利用率。用某一预先确定的次序遍历八叉树（例如以深度第一的方式），将八叉树转换为一个线性表，表的每个元素与一个节点相对应。对于节点的描述可以相对丰富一点，一如可以用适当的方式来说明他是否是叶节点，如果不是叶节点的话，还可用其八个子节点值的平均值作为非叶节点的值。这样，可以再内存中以紧凑的方式来表示线性表，可以不用指针或者仅用一个指针即可。

线性八叉树不仅节省存储空间，对某些运算也较为方便。但为此的代价是丧失了一定的灵活性。

3.一对八式八叉树

  一个非叶结点有八个子结点，为了确定起见，将它们分别标记为0，1，2，3，4，5，6，7。从上面的介绍可以看到，如果一个记录与一个结点相对应，那么在这个记录中描述的是这个结点的八个子结点的特性值。而指针给出的则是该八个子结点所对应记录的存放处，而且还隐含地假定了这些子结点记录存放的次序。也就是说，即使某个记录是不必要的(例如，该结点已是叶结点)，那么相应的存贮位置也必须空闲在那里（图2-5-3），以保证不会错误地存取到其它同辈结点的记录。这样当然会有一定的浪费，除非它是完全的八叉树，即所有的叶结点均在同一层次出现，而在该层次之上的所有层中的结点均为非叶结点。