四、OpenGL 矩阵变换原理

1、概述

上节提到，3D图形的移动，旋转，缩放等变换，都是通过乘以一个矩阵实现。那么为什么通过矩阵就可以实现呢？本节主要是探讨这个问题。要理解本节内容，你最好有点向量和矩阵的知识。

• 向量：有大小和方向的有向线段。物体的每一点，就是物体原点到每一点的向量，表示为：[1,0,0]等，也可以理解为点的坐标。
• 矩阵：可以理解为二维数组，OpenGL只考虑3x3或者4x4的矩阵。

更多向量和矩阵知识，请查阅：3D图形.pdf-对应向量和矩阵章节

2、向量变换

物体通过矩阵进行变换，其实就是物体里面的每个点（向量）通过矩阵进行变换。所以我们可以简单讨论向量通过矩阵的变换：

公式：新向量 = 矩阵 x 向量（v' = Mv）

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上面是向量和矩阵的乘法。

行向量与矩阵相乘，行向量必须在矩阵左边，这叫行向量左乘，左乘才有意义。同理，列向量右乘才有意义。OpenGL使用列向量。后面的部分内容可能还是使用行向量，原理一样。

3、矩阵的几何意义

矩阵是怎么变换向量的呢，或者说我们怎么知道一个矩阵表示的意义呢，是使向量旋转了多少度，缩放了多少呢？

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上图，我们分别用x轴的单位向量（基向量）[1 0 0]，y轴的单位向量[0 1 0]，z轴的单位向量[0 0 1]，乘以矩阵，进行向量变换。

[1 0 0]，x轴的单位向量，乘以矩阵后，得到了矩阵的第一行，所以矩阵的第一行就是x轴单位向量[1 0 0]经过矩阵转换后的向量。以后我们看到矩阵的第一行，就知道了x轴单位向量[1 0 0]变换后的向量。

同理，[0 1 0]y轴单位向量经过矩阵变换为第二行，[0 0 1]z轴单位向量经过矩阵变换为第三行。

知道上面的原理后，我们就可以进行下面的推导了：

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矩阵为：

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所以：

x轴基向量[1 0] --> [2 1]

y轴基向量[0 1] --> [-1 2]

所以我们就可以得到右图

反过来，如果我们想让左图转变为右图，根据右图的x轴和y轴，反推出矩阵。

再来看个三维的例子：

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矩阵意义总结：

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我们可以推理出：

1、绕x轴旋转的矩阵为：

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2、绕y轴旋转的矩阵为：

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3、绕z轴旋转的矩阵为：

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缩放：

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4、4x4矩阵

平移，你会发现，按上面的理论，根本无法表示平移？

上面的变换都是围绕坐标原点的，平移会使物体离开原点，一个3x3的矩阵是无法表示平移的。

要加入平移，我们得用4x4的矩阵，如下图：

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蓝色部分：我们知道旋转、缩放等的线性变换只需要通过3x3的矩阵就可以。所以这里的蓝色部分矩阵就代表线性变换（线性变换包括旋转，缩放等，表示的变换原点位置是不变的）。

紫色：表示投影相关参数，暂不关注。

绿色：

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看下面例子：

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向量[Vx Vy Vz] 分别产生了 tx、ty、tz的平移量。比如原点[0 0 0]就变成了[tx ty tz]

下面我们通过几个例子加深理解向量的仿射变换（仿射变换包括线性变换，可以理解为增加了平移的线性变换）：

1、平移：

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2、放大：

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3、旋转

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4、组合

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向量 v' = Mv

矩阵 M = TR T为平移矩阵，R为旋转矩阵

所以 v' = (TR)v