Educational Codeforces Round 115 E. Staircases

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思路

题目的三种状态相对固定，所以在全部方格都处于自由的状态下，很容易想到用简单的$dp[i][j][k]$进行转移并求出所有的阶梯数。其中$dp$方程表示以坐标为$i,j$的方格为阶梯的末尾，存在多少种情况，$k$为$0$时表示当前方格在下方，$1$表示当前方格在右方。不过由于初始的$dp$值设定为$1$(单独的方格符合题意)，不难发现单个的方格会被重复计算，所以可以使用$cnt$表示当前自由的方格数量，用总的方案数减去$cnt$即可获取答案。而每次修改时，由于被影响的方格数量有限(可以画一下改变左上角的情况体会)，所以可以将它们逐一进行修改并在过程中维护答案。

代码

#include
using namespace std;
const int maxn=2e6+5;
const double eps=1e-9;
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0);cout.tie(0)
set<int>st;
map<int,int>mp,mp1;
queue<int>que,que1;
vector<int>ve[maxn];
bool vis[1005][1005];
int m,n,t,ans,cnt,a[maxn],dp[1005][1005][2];
signed main()
{
    ios;
    int q;
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            dp[i][j][0]=dp[i][j][1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            vis[i][j]=1;
            dp[i][j][0]+=dp[i-1][j][1];
            dp[i][j][1]+=dp[i][j-1][0];
            ans+=dp[i][j][0]+dp[i][j][1];
        }
    }
    cnt=n*m;//答案中多出的部分
    while(q--)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        vis[x][y]=!vis[x][y];
        if(!vis[x][y])//可行块被翻转
        {
            cnt--;
            ans-=dp[x][y][0]+dp[x][y][1];//将其贡献删除
            dp[x][y][0]=dp[x][y][1]=0;//更改其本身贡献
        }
        else//不可行块被翻转
        {
            cnt++;
            dp[x][y][0]=1+dp[x-1][y][1];
            dp[x][y][1]=1+dp[x][y-1][0];
            ans+=dp[x][y][0]+dp[x][y][1];
        }
        bool flag=0;
        while(x<=n&&y<=m)
        {
            if(!vis[x][y]&&flag)
            {
                x++,y++;
                continue;
            }
            flag=1;
            if(x<n&&vis[x+1][y])
            {
                ans-=dp[x+1][y][0];
                dp[x+1][y][0]=1+dp[x][y][1];
                ans+=dp[x+1][y][0];
            }
            if(y<m&&vis[x][y+1])
            {
                ans-=dp[x][y+1][1];
                dp[x][y+1][1]=1+dp[x][y][0];
                ans+=dp[x][y+1][1];
            }
            if(x<n&&y<m&&vis[x+1][y+1])
            {
                ans-=dp[x+1][y+1][0]+dp[x+1][y+1][1];
                dp[x+1][y+1][0]=1+dp[x][y+1][1];
                dp[x+1][y+1][1]=1+dp[x+1][y][0];
                ans+=dp[x+1][y+1][0]+dp[x+1][y+1][1];
            }
            x++,y++;
        }
        cout<<ans-cnt<<endl;
    }
}