高中奥数 2021-12-24

2021-12-24-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与向量的应用 P073 习题1）

锐角三角形外接圆在和处的切线相交于,是的中点,求证:.

证明

设外接圆为复平面上的单位圆,点、、、、分别用复数、、、、代表,则

故

证毕.

2021-12-24-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与向量的应用 P073 习题2）

设、为平面内异于原点的两点,对应复数分别为、.

求证:

$\begin{gathered} \cos \angle A O B=\frac{t_{1} \overline{t_{2}}+\overline{t_{1}} t_{2}}{2\left|t_{1} t_{2}\right|}=\frac{\operatorname{Re}\left(\overline{t_{1}} t_{2}\right)}{\left|t_{1} t_{2}\right|}=\frac{\operatorname{Re}\left(t_{1} \overline{t_{2}}\right)}{\left|t_{1} t_{2}\right|} \\ S_{\triangle A O B}=\frac{1}{2} \operatorname{Im}\left(\overline{t_{1}} t_{2}\right)=\frac{1}{4 \mathrm{i}}\left(\overline{t_{1}} t_{2}-t_{1} \overline{t_{2}}\right) \\ \sin \angle A O B=\frac{\operatorname{Im}\left(\overline{t_{1}} t_{2}\right)}{\left|t_{1} t_{2}\right|}=\frac{\overline{t_{1}} t_{2}-t_{1} \overline{t_{2}}}{2 \mathrm{i}\left|t_{1} t_{2}\right|} \end{gathered}$

这里假定从逆时针转过劣角而到.

证明

由余弦定理,

$\begin{aligned} \cos \angle A O B &=\frac{t_{1} \overline{t_{1}}+t_{2} \overline{t_{2}}-\left|t_{1}-t_{2}\right|^{2}}{2\left|t_{1} t_{2}\right|} \\ &=\frac{t_{1} \overline{t_{1}}+t_{2} \overline{t_{2}}-\left(t_{1}-t_{2}\right)\left(\overline{t_{1}}-\overline{t_{2}}\right)}{2\left|t_{1} t_{2}\right|}, \end{aligned}$

化简即得求证式至面积不妨将A顺时针转到横轴正方向,即,于是.

图1

$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle A^{\prime}OB^{\prime}}=\dfrac{1}{2}\left|t_{1}\right|\cdot \Im\left(\dfrac{t_{2}}{t_{1}}\left|t_{1}\right|\right)=\dfrac{1}{2}\Im\left(\overline{t_{1}}t_{2}|\right)=\dfrac{\overline{t_{1}}t_{2}-t_{1}\overline{t_{2}}}{4\mathrm{i}}$ ,

即刻得出.证毕.

2021-12-24-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与向量的应用 P073 习题3）

设内切圆圆心为原点,半径为,切、、于、、,、、对应的复数分别为、、,试用、、、表示的外接圆半径.

分析与解

由例6可知、、所对应的复数分别是,,,由三角形面积公式,知

于是

又

$\begin{aligned} A B &=\left|\frac{2 t_{2} t_{3}}{t_{2}+t_{3}}-\frac{2 t_{1} t_{3}}{t_{1}+t_{3}}\right|\\ &=2\left|t_{3}\right|^{2}\left|\frac{t_{2}-t_{1}}{\left(t_{1}+t_{3}\right)\left(t_{2}+t_{3}\right)}\right| \\ &=\frac{2 r^{2}}{\left|\left(t_{1}+t_{3}\right)\left(t_{2}+t_{3}\right)\right|} \cdot D E, \end{aligned}$

于是,同理还有另同理还有另外两个式子,故

又 $\begin{aligned} S_{\triangle D E F} &=S_{\triangle D I E}+S_{\triangle E I F}+S_{\triangle F I D}=\frac{1}{2} r^{2}(\sin A+\sin B+\sin C) \\ &=\frac{r^{2}(A B+B C+C A)}{4 R}=\frac{r}{2 R} \cdot S_{\triangle A B C}, \end{aligned},$

故.于是.

高中奥数 2021-12-24

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