多目标优化（一）：Pareto理论相关概念解析

一、前言

---

帕累托最优法则（Pareto Optimality），也称为帕累托效率、帕累托改善，是博弈论中的重要概念，并且在经济学， 工程学和社会科学中有着广泛的应用。

二、Pareto相关概念

最近在学习多目标优化等NSGA-II相关算法，在多目标优化中，需要找到Pareto前沿面，关于Pareto前沿面以及解的选取后面会提到，奈何Pareto相关概念以及名词解释太多，故写下这篇文章帮助理解。

2.1 Pareto解

Pareto解又称非支配解或不受支配解，有多个目标时，由于目标之间的冲突和无法比较的现象，一个解在某个目标上是最好的，在其他的目标上可能是最差的，这些在改进任何目标函数的同时，必然会削弱至少一个其他目标函数的解称为非支配解或Pareto解。

2.2 Pareto改进

Pareto改进是指一种变化，在没有使任何人境况变坏的前提下，使得至少一个人变得更好。一方面，帕累托最优是指没有进行Pareto改进的余地的状态；另一方面，Pareto改进是达到帕累托最优的路径和方法。
注意：此概念等价于弱Pareto最优
引用知乎某位大佬的理解：多目标规划问题的绝对最优解、有效解（帕累托最优解）和弱有效解（弱帕累托最优解）

• 如图所示：假设我们的优化目标最小化两个函数的值，决策变量为横坐标x

注：图中所示有误，可以发现在x取[2,4]的时候，达到Pareto改进。

---

综上所述，引用一句话，Pareto改进可以理解为：“利己而不损人”，即保持某一个分量不变，其他分量可以持续减少”，在这个状态下总效益还可以不断增加，所以没有达到强最优解，直到“非损人而不能利己”之后，才算达到了帕累托最优状态。

2.3 Pareto最优

Pareto最优：从定义上讲，帕累托最优描述的是一种资源最优化配置的状态。在帕累托最优的条件下，是没有办法在不让某一参与资源分配的一方利益受损的情况下，令另一方获得更大利益的。

举例：拿打麻将的例子来阐述
比如一局四人麻将，什么情况下是Pareto最优态？答案是每场游戏结束都是Pareto最优？为什么这么说呢？回到我们的定义，在帕累托最优的条件下，是没有办法在不让某一参与资源分配的一方利益受损的情况下，令另一方获得更大利益的。我们假设每局麻将都是一人赢，其他人输，在这种情况下，有什么好方法让赢得人获得更大利益，输的人利益不受损失吗？答案显然是没有的，因为这就是游戏的规则，赢得人如果赢得更多，也以为着输的人输的多，就好比如果每个输家给赢家5元，这时候每个输家利益（-5元），赢家利益（+15）。无论怎么改变这个值，都达不到让赢家利益增加，输家利益不受损。所以无论谁赢谁输都是Pareto最优。

另外注意：Pareto最优解也可以有多个。比如上图例子中绿色线标出的一部分。无论决策变量取何值时，在这段区间上，都不可能使一个函数目标值更小，且使其他函数目标值不变或者更小。

2.4 Pareto最优集

Pareto最优集是一组目标函数最优解的集合，刚刚讲的区间就是一组Pareto最优集

2.5 Pareto前沿面

Pareto前沿面是指最优集在空间形成的曲面，一般而言优化目标是两个函数时，形成一条线，优化目标是多个函数时，则会形成一个曲面，关于此部分的更深一步理解，可以参考：
CSDN博客：帕累托最优解集

---

以上就是Pareto所了解的相关概念，后续会学习介绍多目标的相关算法。