《重读相对论》9.2 滑落悖论

9.2 滑落悖论

理解了车站佯谬的本质原因后，让我们处理一个类似问题滑落悖论。如图9-5所示：有一根长度为2l的长杆在地面上以速度v自左向右匀速滑行，而长杆前方的地面上恰好有一个长度为l的洞口，请问滑杆会不会掉落到洞口中？问题本身非常简单，而且看起来和车站佯谬非常相像，但解决起来却非常困难！

如果我们不考虑相对论效应，直接把滑杆的中点O放在洞口左侧的O’点时，它刚好有一半的长度OA能够搭在地面上，另一半长度OB则在洞口上悬空。如果我们把长杆看作一根杠杆，那么O’所在的位置就是它的支点，由于OA = OB = l，所以长杆左右两侧的重量和力臂都是相同的，于是长杆恰好可以停在洞口O’处，不至于滑落到洞中。

但是，如果长杆以速度v运动起来以后呢？如果我们选择地面作为参考系，那么由于相对论效应，长杆就会在运动方向上发生收缩，这会使得它的总长度小于2l，也会使得OA和OB的长度小于l。如图9-6所示：如果我们从地面上的O’点观察就会发现，当O滑过的瞬间，由于OB＜O’B’，所以右侧的B点还不会到达B’点，此时，如果O点继续向右滑动一小段，O’右侧的重量和力臂就会大于左侧，于是长杆必将滑落到洞中。

如果结论只是如此，用狭义相对论也不难解释。但问题在于，如果我们选择长杆为参考系却会发现，过程将如图9-7所示：长杆本身处于静止状态，是地面上的洞口O’B’在向左移动。在静止状态下，洞口O’B’的长度等于l，但当洞口O’B’运动起来以后，由于相对论尺短效应，O’B’的长度就会发生收缩，导致其长度小于静止的长度l，小于OB这半根杆长，因此长杆就不会滑落到洞中，可以顺利通过洞口。

请注意：如果我们不讨论长杆是否滑落的问题，而只是把长杆上AB的长度和地面上A’B’两点的间距作一番对比，该问题就和车站悖论完全相同了，答案完全可以是：从地面上看，A’B’>AB；从长杆上看，A’B’<AB。尽管两种说法相互矛盾，但我们完全解释为：同时只是一个相对概念，长度只是一个相对概念！但现在的情况却完全不同了，长杆究竟是否跌落洞中是一个物理事实，而不再只是我们头脑中的一个概念！显然，与车站佯谬相比，这个问题要刁钻的多！要解决这个问题，我们就必须回归到相对论的本质，必须清楚的认识到，所谓运动参考系中的物体变短究竟是什么含义，以下是我们在车站悖论中充分讨论过的结论：

如果我们站在地面上O’点观察，就会发现：当AB分别从A’B’两点经过时，我们在中点O’会先收到A经过A’的消息，后收到B经过B’的消息。由于A’B’到O’点的距离相等，所以消息延迟的时间也就相等，这就证明在A经过A’的那个时刻，B还没有达到B’点。因此，地面上的观察者会认为，地面上A’B’的长度大于横杆AB的长度。反过来，如果我们站在长杆AB的中点O处，也会发现：自己先收到了B经过B’的消息，后收到了A经过A’点的消息，由于O也是AB的中点，消息从AB两处到达O点的延迟也是相同的，所以，长杆中点的观察者当然就会认为A’B’的长度小于横杆AB了。

也就是说，问题的焦点出在“同时性”上，A’经过A点以及B’经过B点的时间究竟是同时发生的，还是一前一后？当我们在车站佯谬中讨论这一问题时，甚至分别在列车和站台的两端放置了激光发射

器来做检测，由于“同时”的相对性，即使在激光发射器的辅助下，双方也仍然坚持认为对方的长度发生了收缩，自己的长度比对方更大，并且会埋怨对方的激光发射器没有“同时”发射。但滑落悖论的难点在于，地球引力可不是激光发射器，当使用激光发射器时，双方的观测者可以相互抱怨，但谁又能去指责地球引力呢？难道说地球对长杆的引力先在B点发生，后在O点发生吗？显然不能！那么，这个问题究竟该如何处理呢？

接下来，我们先公布这一问题的结论，再详细分析其中的原因。问题的答案非常简单：长杆运动起来以后，一定会滑落到地面的洞中。如果以地面为参考系，这个结论很容易就可以得到。关键是，如果我们选择长杆作为参考系，该如何解释这样的结果呢？其实，如果我们站在长杆的O点处仔细观察以就会发现：A’B’的长度的确已经缩短了，根据狭义相对论的结论，缩短的后长度A’B’为：

然而，这是否就能证明O’B’的长度也按照同样的比例缩短了呢？不能！我们在物理实在一节中曾经讨论过，当两个参考系发生相对运动时，中点的概念也不再是绝对的。虽然从地面上看来O是AB的中点，但从长杆的中点O看来，O’根本就不是A’B’的中点！如果我们假设长杆静止，地面在运动，且长杆不会滑落到洞中，结果就会如图9-8所示：

图9-8

当我们站在长杆中点O观察时就会发现，洞口O’B’正在以速度v自右向左的运动。由于存在时间延迟，当在洞口左侧的O’点经过O点的瞬间，我们在O点不能马上观察到A’经过A的消息，也不能马上观察到B’经过B的消息。只有在O’经过O一小段时间以后，我们才能收到B’经过B的消息。注意：此时，O’已经经过了O点，B’却刚刚到达B点，因此我们即使选择长杆为参考系，也只能认为O’B’的长度大于OB。假设长杆没有掉落的话，等B’通过B点一段时间以后，我们就可以收到A’经过A点的消息。是的，在长杆中点O看来，由于B’先通过，A’后通过，总体而言，我们的确可以判定：地面上的距离A’B’要小于杆子的总长AB，但是洞口的长度O’B’却大于长杆的一半儿长度OB。

对此，我们只能解释为：地面的洞口O’B’延长了较小的一段距离，但地面O’A’却缩短了较大的一段距离。由于O’B’>OB=OA>O’A’，所以在长杆中点O处看来：O’点不再是A’B’的中心。因此，即使我们选择长杆作为参考系来观察会发现，长杆还是会滑落到洞中。如果此时我们真的站在长杆上，也就只能这样抱怨：在地面上挖坑的人太不厚道了，他们选择的O’点根本就不是A’B’的正中心，他们为我们挖的坑实在太大了。

那么，同样是相对运动的参考系，为什么长杆就要这么倒霉呢？别着急，如果我们改变一下挖坑的位置就会发现，其实，长杆上也不一定就这么不走运。

如果我们不是在长杆的前面O’B’部分挖坑，而是选择后面O’A’挖坑，情况可就完全不同了！假设在长杆通过前，地面O’B’处没有坑洞，而是在长杆的中点O通过O’的瞬间，O’A’的一侧突然出现了一个长度为l的坑洞，那么长杆就可以毫无影响的顺利通过了。如图9-9所示：从在长杆的中点O处看来，O’B ’的长度仍然大于长杆的一半，但由于A’B’的长度小于杆长，所以O’A’的长度远远小于长杆的一半，于是长杆自然就能顺利通过了。

图9-9

上述分析表明，所谓尺短现象只是一个总体效果。当一个材质均匀的物体经过我们身边时，如果我们站在参考系内的某个指定的位置观察，就会惊奇的发现：虽然总体而言，物体在运动方向上的长度缩短了，但是物体远离我们的部分在运动方向上缩短了，朝向我们的部分延长了，而物体的中点沿着运动的方向发生了偏移。其实，不只是中点的位置发生了偏移，而且长杆的密度也会随着中点的偏移发生一些微妙的变化，关于这个问题，我们将在下一个经典悖论潜水艇佯谬中详细分析……