算法通关村第十四关——原来这就是堆

1.什么是堆？

概念：按照完全二叉树的存储顺序将一组数据存储在一个数组中。

结构：

大顶堆（大根堆、最大堆）：任意节点的值均大于等于它的左右孩子，并且最大值位于堆顶，也就是根节点处。

小顶堆（小根堆、最小堆）：任意节点的值均小于等于它的左右孩子，并且最小值位于堆顶，也就是根节点处。

优先队列和堆的区别：

优先队列： 在JavaScript中可以参考Github里这个项目datastructures-js/priority-queue。还是属于队列数据结构，能够front()或者back()出最大或者最小的元素，所以是具有优先级的的队列。实现优先功能的策略不一定只有堆，例如二项堆、平衡树、线段树。

堆：堆是一个很大的的概念。除了用完全二叉树实现的堆之外，还有二项堆、斐波那契堆。

2.堆的构造过程

使用数组构建就是先按照层次将所有元素依次填入二叉树中，使其成为二叉树，然后再不断调整，最终使其符合堆结构。

假设一个节点下标为i：当i = 0时，为根节点。当 i >= 1时，父节点为 $\frac{i-1}{2}$,size就是元素的个数，从1开始计数。

以大顶堆的构建为例：

1）二叉树位置索引从0开始，当i >= 1时，父节点为(size - 2) / 2 = 4。找到数组中的4号下标，69大于其孩子，满足大顶堆性质，不用交换。

2）然后i = i - 1，用4和其孩子比较，4和301交换，交换之后301所在子树满足大顶堆性质。然后是53和其孩子比较，进行交换。

3）接着是27和其孩子比较并交换，一直到满足大顶堆性质，最后是16和其孩子比较并交换，直到满足大顶堆性质。最后得到大顶堆。

3.插入操作

将元素插入到保持其为完全二叉树的最后一个位置，然后顺着这条支路一直向上调整，每前进一层就要保证其子树都满足堆否则就去处理子树，直到完全满足要求。例如在大顶堆插入215，如下图所示。

4.删除操作

堆中数据操作一般都是对堆顶元素进行操作，实际策略是先将堆中最后一个元素（假如为A）和堆顶元素进行替换，然后删除堆中最后一个元素。之后再从根开始逐步与左右比较，谁更大谁上位。然后A再继续与子树比较，如果有更大的继续交换，直到自己所在的子树也满足大顶堆。

举例，删除堆顶元素301：

15与301交换位置后，继续与其孩子进行比较并交换，直到满足大顶堆性质。

5.总结

关于堆的问题总结为口诀：

查找：找大用小，大的进；找小用大，小的进。就是找第K大的数，就用小顶堆，后续数据只有比根元素大的时才允许进入堆。如果时找第K小的数，就用大顶堆，后续数据只有比跟元素小才能进堆。

排序：升序用小，降序用大。升序用小顶堆，从根节点开始到叶子节点逐渐增大，降序用大顶堆，从根节点开始到叶子节点逐渐减小。