LeetCode_动态规划_中等_688.骑士在棋盘上的概率

1.题目

在一个 n x n 的国际象棋棋盘上，一个骑士从单元格 (row, column) 开始，并尝试进行 k 次移动。行和列是从 0 开始的，所以左上单元格是 (0,0) ，右下单元格是 (n - 1, n - 1)。

象棋骑士有 8 种可能的走法，如下图所示。每次移动在基本方向上是两个单元格，然后在正交方向上是一个单元格。

每次骑士要移动时，它都会随机从8种可能的移动中选择一种（即使棋子会离开棋盘），然后移动到那里。骑士继续移动，直到它走了 k 步或离开了棋盘。返回骑士在棋盘停止移动后仍留在棋盘上的概率 。

示例 1：
输入: n = 3, k = 2, row = 0, column = 0
输出: 0.0625
解释: 有两步 (到(1,2)，(2,1)) 可以让骑士留在棋盘上。在每一个位置上，也有两种移动可以让骑士留在棋盘上。骑士留在棋盘上的总概率是(1 / 8) * (2 / 8) + (1 / 8) * (2 / 8) = 0.0625。

示例 2：
输入: n = 1, k = 0, row = 0, column = 0
输出: 1.00000

提示：
1 <= n <= 25
0 <= k <= 100
0 <= row, column <= n

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/knight-probability-in-chessboard

2.思路

（1）动态规划
思路参考该 LeetCode 用户题解。

相关题目：
LeetCode_模拟_中等_2596.检查骑士巡视方案

3.代码实现（Java）

//思路1————动态规划
class Solution {
    public double knightProbability(int n, int k, int row, int column) {
        //定义 8 个方向
        int[][] dirs = {{-1, -2}, {-2, -1}, {-1, 2}, {-2, 1}, {1, 2}, {2, 1}, {1, -2}, {2, -1}};
        // dp[i][j][p] 为从位置 (i, j) 出发，使用步数不超过 p 步，最后仍在棋盘内的概率
        double[][][] dp = new double[n][n][k + 1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                dp[i][j][0] = 1;
            }
        }
        for (int p = 1; p <= k; p++) {
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                for (int j = 0; j < n; j++) {
                    for (int[] dir : dirs) {
                        //下一次移动到的坐标
                        int nextX = i + dir[0];
                        int nextY = j + dir[1];
                        if (nextX >= 0 && nextX < n && nextY >= 0 && nextY < n) {
                            //下一次移动到的坐标仍在棋盘内
                            dp[i][j][p] += dp[nextX][nextY][p - 1] / 8;
                        }                   
                    }
                }
            }
        }
        return dp[row][column][k];
    }
}